WikiDer > Энтропийная ценность под угрозой

Entropic value at risk

В финансовая математика и стохастическая оптимизация, Концепция чего-либо мера риска используется для количественной оценки риска случайного исхода или позиции риска. К настоящему времени было предложено множество мер по риску, каждая из которых имеет определенные характеристики. В энтропийное значение под угрозой (EVaR) это согласованная мера риска представленный Ахмади-Джавидом,[1][2] что является верхней границей для стоимость под риском (VaR) и условная стоимость под угрозой (CVaR), полученный из Неравенство Чернова. EVaR также можно представить с помощью концепции относительная энтропия. Из-за связи с VaR и относительной энтропией эта мера риска называется «энтропийной величиной риска». EVaR был разработан для устранения некоторых вычислительных недостатков.[требуется разъяснение] CVaR. Вдохновленный двойным представлением EVaR, Ахмади-Джавид[1][2] разработали широкий класс согласованные меры риска, называется g-энтропийные меры риска. И CVaR, и EVaR являются членами этого класса.

Определение

Позволять быть вероятностное пространство с набор всех простых событий, а -алгебра подмножеств и а вероятностная мера на . Позволять быть случайная переменная и быть набором всех Измеримый по Борелю функции чей момент-производящая функция существует для всех . Энтропийное значение риска (EVaR) с уровнем уверенности определяется следующим образом:

 

 

 

 

(1)

В финансах случайная переменная в приведенном выше уравнении используется для моделирования убытки портфолио.

Рассмотрим неравенство Чернова

 

 

 

 

(2)

Решение уравнения за приводит к

Рассматривая уравнение (1), Мы видим, что

который показывает связь между EVaR и неравенством Чернова. Стоит отметить, что это мера энтропийного риска или же экспоненциальная премия, которое используется в финансах и страховании соответственно.

Позволять - множество всех измеримых по Борелю функций функция, производящая момент существует для всех . В двойное представительство (или надежное представление) EVaR выглядит следующим образом:

 

 

 

 

(3)

куда и набор вероятностных мер на с . Обратите внимание, что

это относительная энтропия из относительно также называется Дивергенция Кульбака – Лейблера. Двойное представление EVaR раскрывает причину его названия.

Характеристики

  • EVaR - это согласованная мера риска.
  • Производящая момент функция может быть представлен EVaR: для всех и

 

 

 

 

(4)

  • За , для всех если и только если для всех .
  • Мера энтропийного риска с параметром могут быть представлены посредством EVaR: для всех и

 

 

 

 

(5)

  • EVaR с уровнем уверенности - максимально точная верхняя граница, которая может быть получена из неравенства Чернова для VaR и CVaR с уровнем достоверности ;

 

 

 

 

(6)

  • Для EVaR выполняется следующее неравенство:

 

 

 

 

(7)

куда это ожидаемое значение из и это эссенциальный супремум из , т.е. . Так что держись и .

Примеры

Сравнение VaR, CVaR и EVaR для стандартного нормального распределения
Сравнение VaR, CVaR и EVaR для равномерного распределения на интервале (0,1)

За

 

 

 

 

(8)

За

 

 

 

 

(9)

На рисунках 1 и 2 показано сравнение значений VaR, CVaR и EVaR для и .

Оптимизация

Позволять быть мерой риска. Рассмотрим проблему оптимизации

 

 

 

 

(10)

куда является -размерный реальный вектор решения, является -размерный реальный случайный вектор с известным распределение вероятностей и функция является измеримой по Борелю функцией для всех значений Если то задача оптимизации (10) превращается в:

 

 

 

 

(11)

Позволять быть поддержка случайного вектора Если является выпуклый для всех , то целевая функция задачи (11) также выпуклый. Если имеет форму

 

 

 

 

(12)

и находятся независимые случайные величины в , тогда (11) становится

 

 

 

 

(13)

что в вычислительном отношении послушный. Но в этом случае, если использовать CVaR в задаче (10), то результирующая задача принимает следующий вид:

 

 

 

 

(14)

Можно показать, что, увеличивая размерность , проблема (14) вычислительно трудноразрешимо даже для простых случаев. Например, предположим, что независимы дискретные случайные величины что взять различные ценности. Для фиксированных значений и то сложность вычисления целевой функции, заданной в задаче (13) имеет порядок а время вычисления целевой функции задачи (14) имеет порядок . Для иллюстрации предположим, что и суммирование двух чисел занимает секунд. Для вычисления целевой функции задачи (14) нужно около лет, тогда как оценка целевой функции задачи (13) занимает около секунд. Это показывает, что состав с EVaR превосходит состав с CVaR (см. [2] Больше подробностей).

Обобщение (меры g-энтропийного риска)

Вдохновленный двойным представлением EVaR, приведенным в (3), можно определить широкий класс теоретико-информационных когерентных мер риска, которые вводятся в.[1][2] Позволять быть выпуклым правильное функционирование с и быть неотрицательным числом. В -энтропическая мера риска с уровнем дивергенции определяется как

 

 

 

 

(15)

куда в котором это обобщенная относительная энтропия из относительно . Первичное представление класса -энтропические меры риска могут быть получены следующим образом:

 

 

 

 

(16)

куда является конъюгатом . С учетом

 

 

 

 

(17)

с и , можно вывести формулу EVaR. CVaR также является -энтропическая мера риска, которую можно получить из (16) установив

 

 

 

 

(18)

с и (видеть [1][3] Больше подробностей).

Для получения дополнительных результатов на -энтропические меры риска см.[4]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d Ахмади-Джавид, Амир (2011). Теоретико-информационный подход к построению согласованных мер риска. Санкт-Петербург, Россия: Материалы международного симпозиума IEEE по теории информации. С. 2125–2127. Дои:10.1109 / ISIT.2011.6033932.
  2. ^ а б c d Ахмади-Джавид, Амир (2012). «Энтропийное значение риска: новая согласованная мера риска». Журнал теории оптимизации и приложений. 155 (3): 1105–1123. Дои:10.1007 / s10957-011-9968-2.
  3. ^ Ахмади-Джавид, Амир (2012). «Приложение к: Энтропическая ценность под риском: новая согласованная мера риска». Журнал теории оптимизации и приложений. 155 (3): 1124–1128. Дои:10.1007 / s10957-012-0014-9.
  4. ^ Брейер, Томас; Цисар, Имре (2013). «Измерение риска модели распределения». arXiv:1301.4832v1. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | версия = (помощь)