WikiDer > Существенное расширение

В математика, конкретно теория модулей, учитывая звенеть р и р-модули M с подмодулем N, модуль M считается существенное расширение из N (или же N считается существенный подмодуль или же большой подмодуль из M) если для каждого подмодуля ЧАС из M,

${displaystyle Hcap N = {0},}$ подразумевает, что ${displaystyle H = {0},}$

В частном случае существенный левый идеал из р это левый идеал что существенно как подмодуль левого модуля _рр. Левый идеал имеет ненулевое пересечение с любым ненулевым левым идеалом р. Аналогично и основной правильный идеал в точности существенный подмодуль правого р модуль р_р.

Обычные обозначения для существенных расширений включают следующие два выражения:

${displaystyle Nsubseteq _ {e} M,}$ (Лам 1999), и ${displaystyle N rianglelefteq M}$ (Андерсон и Фуллер 1992)

В двойной понятие существенного подмодуля - это понятие лишний подмодуль (или же небольшой подмодуль). Подмодуль N лишнее, если для любого другого подмодуля ЧАС,

${displaystyle N + H = M,}$ подразумевает, что ${displaystyle H = M,}$.

Обычные обозначения для лишних подмодулей включают:

${displaystyle Nsubseteq _ {s} M,}$ (Лам 1999), и ${displaystyle Nll M}$ (Андерсон и Фуллер 1992)

Характеристики

Вот некоторые из элементарных свойств существенных расширений, указанных в введенных выше обозначениях. Позволять M быть модулем и K, N и ЧАС быть подмодулями M с K ${displaystyle substeq}$ N

• Четко M является существенным подмодулем M, а нулевой подмодуль ненулевого модуля никогда не является существенным.
• ${displaystyle Ksubseteq _ {e} M}$ если и только если ${displaystyle Ksubseteq _ {e} N}$ и ${displaystyle Nsubseteq _ {e} M}$
• ${displaystyle Kcap Hsubseteq _ {e} M}$ если и только если ${displaystyle Ksubseteq _ {e} M}$ и ${displaystyle Hsubseteq _ {e} M}$

С помощью Лемма Цорна можно доказать еще один полезный факт: для любого подмодуля N из M, существует подмодуль C такой, что

${displaystyle Noplus Csubseteq _ {e} M}$.

Кроме того, модуль без надлежащего существенного расширения (то есть, если модуль является существенным в другом модуле, то он равен этому модулю), является инъективный модуль. Тогда можно доказать, что каждый модуль M имеет максимальное существенное расширение E(M), называется инъективная оболочка из M. Инъективная оболочка обязательно является инъективным модулем и единственна с точностью до изоморфизма. Инъективная оболочка также минимальна в том смысле, что любой другой инъективный модуль, содержащий M содержит копию E(M).

Многие свойства сводятся к лишним подмодулям, но не все. Снова позвольте M быть модулем и K, N и ЧАС быть подмодулями M с K ${displaystyle substeq}$ N.

• Нулевой подмодуль всегда лишний, а ненулевой модуль M Сам по себе никогда не бывает лишним.
• ${displaystyle Nsubseteq _ {s} M}$ если и только если ${displaystyle Ksubseteq _ {s} M}$ и ${displaystyle N / Ksubseteq _ {s} M / K}$
• ${displaystyle K + Hsubseteq _ {s} M}$ если и только если ${displaystyle Ksubseteq _ {s} M}$ и ${displaystyle Hsubseteq _ {s} M}$.

Поскольку каждый модуль может быть отображен через мономорфизм образ которого существенен в инъективном модуле (его инъективной оболочке), можно спросить, истинно ли двойственное утверждение, т.е.для каждого модуля M, Есть ли проективный модуль п и эпиморфизм из п на M чей ядро лишнее? (Такой п называется проективное покрытие). Ответ "Нет"вообще, а специальный класс колец, все правые модули которых имеют проективные накрытия, есть класс правых идеальные кольца.

Одна форма Лемма Накаямы заключается в том, что J (р)M является лишним подмодулем M когда M является конечно порожденным модулем над р.

Обобщение

Это определение можно обобщить на произвольный абелева категория C. An существенное расширение это мономорфизм ты : M → E такой, что для любого ненулевого подобъект s : N → E, то волокнистый продукт N ×_E M ≠ 0.

Смотрите также

• Плотные подмодули - особый тип существенного подмодуля

Рекомендации

• Anderson, F.W .; Фуллер, К. (1992), Кольца и категории модулей, Тексты для выпускников по математике, 13 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97845-3
• Дэвид Эйзенбуд, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии ISBN 0-387-94269-6
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, МИСТЕР 1653294
• Митчелл, Барри (1965). Теория категорий. Чистая и прикладная математика. 17. Академическая пресса. ISBN 978-0-124-99250-4. МИСТЕР 0202787. Раздел III.2