WikiDer > Существенная особенность

График функции exp (1 /z) с центром в существенной особенности в точке z= 0. Оттенок представляет сложный аргумент, яркость представляет абсолютная величина. Этот график показывает, как приближение к существенной сингулярности с разных направлений приводит к разному поведению (в отличие от полюса, который при приближении с любого направления был бы равномерно белым).

Модель, иллюстрирующая существенную особенность комплексной функции 6w = exp (1 / (6z))

В комплексный анализ, существенная особенность функции является "серьезным" необычность вблизи которого функция демонстрирует странное поведение.

Категория существенная особенность представляет собой "оставшуюся" или группу по умолчанию изолированных сингулярностей, которые особенно неуправляемы: по определению они не вписываются ни в одну из двух других категорий сингулярностей, с которыми можно иметь дело каким-либо образом - устранимые особенности и полюса.

Формальное описание

Рассмотрим открытое подмножество ${ displaystyle U}$ из комплексная плоскость ${ Displaystyle mathbb {C}}$. Позволять ${ displaystyle a}$ быть элементом ${ displaystyle U}$, и ${ displaystyle f двоеточие U setminus {a } to mathbb {C}}$ а голоморфная функция. Смысл ${ displaystyle a}$ называется существенная особенность функции ${ displaystyle f}$ если сингулярность не является столб ни устранимая особенность.

Например, функция ${ Displaystyle е (г) = е ^ {1 / z}}$имеет существенную особенность при ${ displaystyle z = 0}$.

Альтернативные описания

Позволять а - комплексное число, предположим, что ж(z) не определена в а но это аналитический в каком-то регионе U комплексной плоскости, и что каждый открыто район из а имеет непустое пересечение с U.

Если оба

${ Displaystyle lim _ {г к а} е (г)}$ и ${ displaystyle lim _ {z to a} { frac {1} {f (z)}}}$ существовать, тогда а это устранимая особенность обоих ж и 1 /ж.

Если

${ Displaystyle lim _ {г к а} е (г)}$ существует, но ${ displaystyle lim _ {z to a} { frac {1} {f (z)}}}$ не существует, то а это нуль из ж и столб из 1 /ж.

Аналогично, если

${ Displaystyle lim _ {г к а} е (г)}$ не существует, но ${ displaystyle lim _ {z to a} { frac {1} {f (z)}}}$ существует, тогда а полюс ж и ноль 1 /ж.

Если ни то, ни другое

${ Displaystyle lim _ {г к а} е (г)}$ ни ${ displaystyle lim _ {z to a} { frac {1} {f (z)}}}$ существует, тогда а является существенной особенностью обоих ж и 1 /ж.

Другой способ охарактеризовать существенную особенность состоит в том, что Серия Laurent из ж в момент а имеет бесконечно много отрицательных степеней (т. е. основная часть ряда Лорана представляет собой бесконечную сумму). Связанное определение состоит в том, что если есть точка ${ displaystyle a}$ для которого нет производной ${ Displaystyle е (г) (г-а) ^ {п}}$ сходится к пределу как ${ displaystyle z}$ как правило ${ displaystyle a}$, тогда ${ displaystyle a}$ существенная особенность ${ displaystyle f (z)}$.^[1]

Поведение голоморфные функции вблизи их существенных особенностей описывается Теорема Казорати – Вейерштрасса и значительно сильнее Великая теорема Пикарда. Последний говорит, что в каждой окрестности существенной особенности а, функция ж взять на себя каждый комплексное значение, кроме, возможно, одного, бесконечно много раз. (Исключение необходимо, так как функция exp (1 /z) никогда не принимает значение 0.)

Рекомендации

внешняя ссылка

• Существенная сингулярность к Стивен Вольфрам, Вольфрам Демонстрационный проект.
• Существенная сингулярность в планетной математике