WikiDer > Уравнение Эйлера – Трикоми

Euler–Tricomi equation

В математика, то Уравнение Эйлера – Трикоми это линейный уравнение в частных производных полезно при изучении трансзвуковой поток. Он назван в честь Леонард Эйлер и Франческо Джакомо Трикоми.

{ displaystyle u_ {xx} + xu_ {yy} = 0. ,}

это эллиптический в полуплоскости Икс > 0, параболический в Икс = 0 и гиперболический в полуплоскостиИкс <0. Его характеристики находятся

{ Displaystyle х , dx ^ {2} + dy ^ {2} = 0, ,}

которые имеют интеграл

{ displaystyle y pm { frac {2} {3}} x ^ {3/2} = C,}

куда C константа интеграция. Таким образом, характеристики включают два семейства полукубические параболы, с выступами на линии Икс = 0, кривые, лежащие в правой части у-ось.

Частные решения

Частные решения уравнений Эйлера – Трикоми включают

${ Displaystyle и = Axy + Bx + Cy + D, ,}$
${ displaystyle u = A (3y ^ {2} + x ^ {3}) + B (y ^ {3} + x ^ {3} y) + C (6xy ^ {2} + x ^ {4}) + D (2xy ^ {3} + x ^ {4} y), ,}$

куда А, B, C, D - произвольные постоянные.

Общее выражение для этих решений:

${ displaystyle u = sum _ {i = 0} ^ {k} { frac {x ^ {m_ {i}} cdot y ^ {n_ {i}}} {c_ {i}}} ,}$

куда

${ displaystyle p, q in [0,1]}$
${ displaystyle m_ {i} = 3i + p}$
${ Displaystyle п_ {я} = 2 (к-я) + д}$
${ displaystyle c_ {i} = m_ {i} !!! cdot (m_ {i} -1) !!! cdot n_ {i} !! cdot (n_ {i} -1) !!}$