В теория чисел , Произведение Эйлера является расширением Серия Дирихле в бесконечный продукт проиндексировано простые числа . Оригинальный такой товар был отдан за сумма всех положительных целых чисел в определенной степени как доказано Леонард Эйлер . Эта серия и ее продолжение на всю сложную плоскость позже стали известны как Дзета-функция Римана .
Определение
В общем, если а { displaystyle a} ограниченный мультипликативная функция , то ряд Дирихле
∑ п а ( п ) п − s { Displaystyle сумма _ {п} а (п) п ^ {- s} ,} равно
∏ п п ( п , s ) { Displaystyle prod _ {p} P (p, s) ,} для Re (s)> 1.где произведение берется по простым числам п { displaystyle p} , и п ( п , s ) { Displaystyle P (p, s)} это сумма
1 + а ( п ) п − s + а ( п 2 ) п − 2 s + ⋯ . { displaystyle 1 + a (p) p ^ {- s} + a (p ^ {2}) p ^ {- 2s} + cdots.} Фактически, если мы рассматриваем их как формальные производящие функции , наличие такого формальный Разложение в произведение Эйлера является необходимым и достаточным условием того, что а ( п ) { Displaystyle а (п)} быть мультипликативным: это говорит о том, что а ( п ) { Displaystyle а (п)} продукт а ( п k ) { Displaystyle а (п ^ {к})} в любое время п { displaystyle n} факторы как продукт власти п k { displaystyle p ^ {k}} различных простых чисел п { displaystyle p} .
Важным частным случаем является случай, когда а ( п ) { Displaystyle а (п)} является полностью мультипликативный , так что п ( п , s ) { Displaystyle P (p, s)} это геометрическая серия . потом
п ( п , s ) = 1 1 − а ( п ) п − s , { Displaystyle P (p, s) = { frac {1} {1-a (p) p ^ {- s}}},} как и в случае дзета-функции Римана, где а ( п ) = 1 { Displaystyle а (п) = 1} , и в более общем плане для Персонажи Дирихле .
Конвергенция
На практике все важные случаи таковы, что разложения бесконечного ряда и бесконечного произведения абсолютно сходящийся в каком-то регионе
Re ( s ) > C , { displaystyle operatorname {Re} (s)> C,} то есть в некоторой правой полуплоскости в комплексных числах. Это уже дает некоторую информацию, поскольку бесконечное произведение, чтобы сойтись, должно давать ненулевое значение; следовательно, функция, заданная бесконечным рядом, не равна нулю в такой полуплоскости.
В теории модульные формы здесь типично иметь произведения Эйлера с квадратичными многочленами в знаменателе. Генерал Философия Ленглендса включает сопоставимое объяснение связи многочленов степени м , а теория представлений для GLм .
Примеры
Произведение Эйлера, прикрепленное к Дзета-функция Римана ζ ( s ) , { displaystyle zeta (s),} используя также сумму геометрического ряда,
∏ п ( 1 − п − s ) − 1 = ∏ п ( ∑ п = 0 ∞ п − п s ) = ∑ п = 1 ∞ 1 п s = ζ ( s ) . { Displaystyle prod _ {p} (1-p ^ {- s}) ^ {- 1} = prod _ {p} { Big (} sum _ {n = 0} ^ { infty} p ^ {- ns} { Big)} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}} = zeta (s).} в то время как для Функция Лиувилля λ ( п ) = ( − 1 ) Ω ( п ) , { Displaystyle лямбда (п) = (- 1) ^ { Омега (п)},} это
∏ п ( 1 + п − s ) − 1 = ∑ п = 1 ∞ λ ( п ) п s = ζ ( 2 s ) ζ ( s ) . { displaystyle prod _ {p} (1 + p ^ {- s}) ^ {- 1} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { lambda (n)} {n ^ {s}}} = { frac { zeta (2s)} { zeta (s)}}.}. Используя их обратные, два произведения Эйлера для Функция Мёбиуса μ ( п ) { Displaystyle му (п)} находятся
∏ п ( 1 − п − s ) = ∑ п = 1 ∞ μ ( п ) п s = 1 ζ ( s ) { displaystyle prod _ {p} (1-p ^ {- s}) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {s}} } = { frac {1} { zeta (s)}}} и
∏ п ( 1 + п − s ) = ∑ п = 1 ∞ | μ ( п ) | п s = ζ ( s ) ζ ( 2 s ) . { displaystyle prod _ {p} (1 + p ^ {- s}) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {| mu (n) |} {n ^ {s }}} = { frac { zeta (s)} { zeta (2s)}}.} Соотношение этих двух дает
∏ п ( 1 + п − s 1 − п − s ) = ∏ п ( п s + 1 п s − 1 ) = ζ ( s ) 2 ζ ( 2 s ) . { Displaystyle prod _ {p} { Big (} { frac {1 + p ^ {- s}} {1-p ^ {- s}}} { Big)} = prod _ {p} { Big (} { frac {p ^ {s} +1} {p ^ {s} -1}} { Big)} = { frac { zeta (s) ^ {2}} { zeta (2 с)}}.} Поскольку даже s дзета-функция Римана ζ ( s ) { displaystyle zeta (s)} имеет аналитическое выражение в терминах рациональный несколько из π s , { displaystyle pi ^ {s},} тогда для четных показателей это бесконечное произведение вычисляется до рационального числа. Например, поскольку ζ ( 2 ) = π 2 / 6 , { Displaystyle zeta (2) = pi ^ {2} / 6,} ζ ( 4 ) = π 4 / 90 , { Displaystyle zeta (4) = pi ^ {4} / 90,} и ζ ( 8 ) = π 8 / 9450 , { Displaystyle zeta (8) = pi ^ {8} / 9450,} тогда
∏ п ( п 2 + 1 п 2 − 1 ) = 5 2 , { displaystyle prod _ {p} { Big (} { frac {p ^ {2} +1} {p ^ {2} -1}} { Big)} = { frac {5} {2 }},} ∏ п ( п 4 + 1 п 4 − 1 ) = 7 6 , { displaystyle prod _ {p} { Big (} { frac {p ^ {4} +1} {p ^ {4} -1}} { Big)} = { frac {7} {6 }},} и так далее, с первым результатом, известным Рамануджан . Это семейство бесконечных произведений также эквивалентно
∏ п ( 1 + 2 п − s + 2 п − 2 s + ⋯ ) = ∑ п = 1 ∞ 2 ω ( п ) п − s = ζ ( s ) 2 ζ ( 2 s ) , { displaystyle prod _ {p} (1 + 2p ^ {- s} + 2p ^ {- 2s} + cdots) = sum _ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ { omega (п )} n ^ {- s} = { frac { zeta (s) ^ {2}} { zeta (2s)}},} куда ω ( п ) { Displaystyle omega (п)} подсчитывает количество различных простых множителей п , и 2 ω ( п ) { Displaystyle 2 ^ { omega (п)}} это количество без квадратов делители.
Если χ ( п ) { Displaystyle чи (п)} Дирихле дирижер N , { displaystyle N,} так что χ { displaystyle chi} полностью мультипликативен и χ ( п ) { Displaystyle чи (п)} зависит только от п по модулю N , и χ ( п ) = 0 { Displaystyle чи (п) = 0} если п не является совмещать к N , тогда
∏ п ( 1 − χ ( п ) п − s ) − 1 = ∑ п = 1 ∞ χ ( п ) п − s . { Displaystyle prod _ {p} (1- chi (p) p ^ {- s}) ^ {- 1} = sum _ {n = 1} ^ { infty} chi (n) n ^ {-s}.} Здесь удобно опустить простые числа п разделение проводника N от продукта. В своих записных книжках Рамануджан обобщил произведение Эйлера для дзета-функции как
∏ п ( Икс − п − s ) ≈ 1 Ли s ( Икс ) { displaystyle prod _ {p} (x-p ^ {- s}) приблизительно { frac {1} { operatorname {Li} _ {s} (x)}}} за s > 1 { displaystyle s> 1} куда Ли s ( Икс ) { displaystyle operatorname {Li} _ {s} (x)} это полилогарифм . За Икс = 1 { displaystyle x = 1} продукт выше просто 1 / ζ ( s ) . { displaystyle 1 / zeta (s).}
Известные константы
Многие хорошо известные константы имеют разложения Эйлера.
В Формула Лейбница для π ,
π 4 = ∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п 2 п + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ , { displaystyle { frac { pi} {4}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 1- { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} - { frac {1} {7}} + cdots,} можно интерпретировать как Серия Дирихле с использованием (уникального) символа Дирихле по модулю 4 и преобразованного в произведение Эйлера сверхчастичные отношения
π 4 = ( ∏ п ≡ 1 ( мод 4 ) п п − 1 ) ⋅ ( ∏ п ≡ 3 ( мод 4 ) п п + 1 ) = 3 4 ⋅ 5 4 ⋅ 7 8 ⋅ 11 12 ⋅ 13 12 ⋯ , { displaystyle { frac { pi} {4}} = left ( prod _ {p Equiv 1 { pmod {4}}} { frac {p} {p-1}} right) cdot left ( prod _ {p Equiv 3 { pmod {4}}} { frac {p} {p + 1}} right) = { frac {3} {4}} cdot { frac {5} {4}} cdot { frac {7} {8}} cdot { frac {11} {12}} cdot { frac {13} {12}} cdots,} где каждый числитель является простым числом, а каждый знаменатель - ближайшим кратным четырем.[1]
Другие продукты Эйлера для известных констант включают:
Двойная простая постоянная Харди – Литтлвуда :
∏ п > 2 ( 1 − 1 ( п − 1 ) 2 ) = 0.660161... { displaystyle prod _ {p> 2} left (1 - { frac {1} {(p-1) ^ {2}}} right) = 0,660161 ...} Постоянная Ландау-Рамануджана :
π 4 ∏ п ≡ 1 ( мод 4 ) ( 1 − 1 п 2 ) 1 / 2 = 0.764223... { displaystyle { frac { pi} {4}} prod _ {p Equiv 1 { pmod {4}}} left (1 - { frac {1} {p ^ {2}}} справа) ^ {1/2} = 0,764223 ...} 1 2 ∏ п ≡ 3 ( мод 4 ) ( 1 − 1 п 2 ) − 1 / 2 = 0.764223... { displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} prod _ {p Equiv 3 { pmod {4}}} left (1 - { frac {1} {p ^ {2}) }} right) ^ {- 1/2} = 0,764223 ...} Постоянная Мурата (последовательность A065485 в OEIS ):
∏ п ( 1 + 1 ( п − 1 ) 2 ) = 2.826419... { displaystyle prod _ {p} left (1 + { frac {1} {(p-1) ^ {2}}} right) = 2,826419 ...} Беззаботная константа × ζ ( 2 ) 2 { displaystyle times zeta (2) ^ {2}} OEIS : A065472 :
∏ п ( 1 − 1 ( п + 1 ) 2 ) = 0.775883... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {1} {(p + 1) ^ {2}}} right) = 0,775883 ...} Постоянная Артина OEIS : A005596 :
∏ п ( 1 − 1 п ( п − 1 ) ) = 0.373955... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {1} {p (p-1)}} right) = 0,373955 ...} Постоянная Ландау OEIS : A082695 :
∏ п ( 1 + 1 п ( п − 1 ) ) = 315 2 π 4 ζ ( 3 ) = 1.943596... { displaystyle prod _ {p} left (1 + { frac {1} {p (p-1)}} right) = { frac {315} {2 pi ^ {4}}} дзета (3) = 1,943596 ...} Беззаботная постоянная × ζ ( 2 ) { displaystyle times zeta (2)} OEIS : A065463 :
∏ п ( 1 − 1 п ( п + 1 ) ) = 0.704442... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {1} {p (p + 1)}} right) = 0,704442 ...} (с обратным) OEIS : A065489 :
∏ п ( 1 + 1 п 2 + п − 1 ) = 1.419562... { displaystyle prod _ {p} left (1 + { frac {1} {p ^ {2} + p-1}} right) = 1,419562 ...} Постоянная Феллера-Торнье OEIS : A065493 :
1 2 + 1 2 ∏ п ( 1 − 2 п 2 ) = 0.661317... { displaystyle { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} prod _ {p} left (1 - { frac {2} {p ^ {2}}} справа) = 0,661317 ...} Постоянная квадратичного числа классов OEIS : A065465 :
∏ п ( 1 − 1 п 2 ( п + 1 ) ) = 0.881513... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {1} {p ^ {2} (p + 1)}} right) = 0,881513 ...} Сумматорная константа тотента OEIS : A065483 :
∏ п ( 1 + 1 п 2 ( п − 1 ) ) = 1.339784... { displaystyle prod _ {p} left (1 + { frac {1} {p ^ {2} (p-1)}} right) = 1,339784 ...} Постоянная Сарнака OEIS : A065476 :
∏ п > 2 ( 1 − п + 2 п 3 ) = 0.723648... { displaystyle prod _ {p> 2} left (1 - { frac {p + 2} {p ^ {3}}} right) = 0,723648 ...} Беззаботная постоянная OEIS : A065464 :
∏ п ( 1 − 2 п − 1 п 3 ) = 0.428249... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {2p-1} {p ^ {3}}} right) = 0,428249 ...} Беззаботная константа OEIS : A065473 :
∏ п ( 1 − 3 п − 2 п 3 ) = 0.286747... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {3p-2} {p ^ {3}}} right) = 0,286747 ...} Постоянная Стивенса OEIS : A065478 :
∏ п ( 1 − п п 3 − 1 ) = 0.575959... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {p} {p ^ {3} -1}} right) = 0,575959 ...} Постоянная Барбана OEIS : A175640 :
∏ п ( 1 + 3 п 2 − 1 п ( п + 1 ) ( п 2 − 1 ) ) = 2.596536... { displaystyle prod _ {p} left (1 + { frac {3p ^ {2} -1} {p (p + 1) (p ^ {2} -1)}} right) = 2,596536. ..} Постоянная Танигучи OEIS : A175639 :
∏ п ( 1 − 3 п 3 + 2 п 4 + 1 п 5 − 1 п 6 ) = 0.678234... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {3} {p ^ {3}}} + { frac {2} {p ^ {4}}} + { frac {1}) {p ^ {5}}} - { frac {1} {p ^ {6}}} right) = 0,678234 ...} Константа Хита-Брауна и Мороза OEIS : A118228 :
∏ п ( 1 − 1 п ) 7 ( 1 + 7 п + 1 п 2 ) = 0.0013176... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {1} {p}} right) ^ {7} left (1 + { frac {7p + 1} {p ^ {2}) }} right) = 0,0013176 ...} Примечания
Рекомендации
Г. Поля , Индукция и аналогия в математике Том 1 Princeton University Press (1954) L.C. Карточка 53-6388 (Доступный английский перевод мемуаров Эйлера об этом «Чрезвычайном законе чисел» появляется на странице 91) Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , МИСТЕР 0434929 , Zbl 0335.10001 (Обеспечивает вводное обсуждение произведения Эйлера в контексте классической теории чисел.) G.H. Харди и Э. М. Райт , Введение в теорию чисел , 5-е изд., Оксфорд (1979) ISBN 0-19-853171-0 (В главе 17 приведены дополнительные примеры.) Джордж Эндрюс, Брюс С. Берндт, Потерянная тетрадь Рамануджана: Часть I , Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X Г. Никлаш, Некоторые теоретические числовые константы: 1000-значные значения " внешняя ссылка