WikiDer > Явный закон взаимности - Википедия

В математике явный закон взаимности формула для Символ Гильберта из местное поле. Название «явный закон взаимности» относится к тому факту, что символы Гильберта локальных полей появляются в Закон взаимности Гильберта для символ остатка энергии. Определения символа Гильберта обычно довольно окольные, и их трудно использовать непосредственно в явных примерах, а явные законы взаимности дают более явные выражения для символа Гильберта, которые иногда проще использовать.

Также существует несколько явных законов взаимности для различных обобщений символа Гильберта на более высокие местные поля, п-делимые группы, и так далее.

История

Артин и Хассе (1928) дал явную формулу для символа Гильберта (α, β) в случае нечетных степеней простого числа, для некоторых специальных значений α и β, когда поле является (круговым) расширением поля п-адические числа на п^пй корень единства. Ивасава (1968) распространил формулу Артина и Хассе на большее количество случаев α и β, и Уайлс (1978) и де Шалит (1986) расширил работу Ивасавы на Расширения Любина – Тейта местных полей. Шафаревич (1950) дал явную формулу символа Гильберта для нечетных простых степеней общих локальных полей. Его формула была довольно сложной, что затрудняло ее использование, и Брюкнер (1967, 1979) и Востоков (1978) нашел более простую формулу. Хенниарт (1981) упростил работу Востокова и распространил ее на случай даже простых полномочий.

Примеры

Для архимедовых локальных полей или в неразветвленном случае символ Гильберта легко записать явно. Основная проблема - оценить это в разветвленном случае.

Архимедовы поля

Над комплексными числами (а, б) всегда равно 1. Сверх действительных чисел символ Гильберта нечетной степени тривиален, а символ Гильберта четной степени задается выражением (а, б)_∞ равно +1, если хотя бы один из а или же б положительно, и −1, если оба отрицательны.

Неразветвленный случай: ручной символ Гильберта

В неразветвленном случае, когда порядок символа Гильберта взаимно прост с характеристикой вычета локального поля, приручить символ Гильберта дан кем-то^[1]

${ displaystyle (a, b) = omega ((-1) ^ { operatorname {ord} (a) operatorname {ord} (b)} b ^ { operatorname {ord} (a)} / a ^ { operatorname {ord} (b)}) ^ {(q-1) / n}}$

где ω (а) это (q - 1) корень -й степени из единицы, конгруэнтный а и ord (а) - значение оценки местного поля, а п - степень символа Гильберта, а q - порядок поля классов вычетов. Номер п разделяет q - 1, потому что локальное поле содержит пкорни единства по предположению.

Как частный случай, над p-адиками с п странно, письмо ${ Displaystyle а = р ^ { альфа} и}$ и ${ displaystyle b = p ^ { beta} v}$, куда ты и v целые числа взаимно просты с п, для квадратичного символа Гильберта

${ displaystyle (a, b) _ {p} = (- 1) ^ { alpha beta varepsilon (p)} left ({ frac {u} {p}} right) ^ { beta} left ({ frac {v} {p}} right) ^ { alpha}}$, куда ${ Displaystyle varepsilon (p) = (p-1) / 2}$

и выражение включает два Лежандровые символы.

Разветвленный случай

Простейшим примером символа Гильберта в разветвленном случае является квадратичный символ Гильберта над 2-адическими целыми числами. Над 2-адиками снова пишем ${ displaystyle a = 2 ^ { alpha} u}$ и ${ displaystyle b = 2 ^ { beta} v}$, куда ты и v находятся нечетные числа, для квадратичного символа Гильберта

${ displaystyle (a, b) _ {2} = (- 1) ^ { epsilon (u) epsilon (v) + alpha omega (v) + beta omega (u)}}$, куда ${ Displaystyle омега (х) = (х ^ {2} -1) / 8}$ и ${ displaystyle epsilon (x) = (x-1) / 2.}$

Смотрите также

• Закон рациональной взаимности

Примечания

Рекомендации

• Артин, Э .; Хассе, Х. (1928), "Die beiden Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz der л^п-ten Potenzreste im Körper der л^п-ten Einheitswurzeln ", Abhandlungen Hamburg, 6: 146–162, Дои:10.1007 / bf02940607, JFM 54.0191.05
• Брюкнер, Хельмут (1967), "Eine Expizite Formel zum Reziprozitätsgesetz für Primzahlexponenten p", Algebraische Zahlentheorie (Ber. Tagung Math. Forschungsinst. Oberwolfach, 1964) (на немецком языке), Bibliographisches Institut, Mannheim, pp. 31–39, МИСТЕР 0230702
• Брюкнер, Х. (1979), Explizites Reziprozitätsgesetz und Anwendungen, Vorlesungen aus dem Fachbereich Mathematik der Universität Essen (на немецком языке), 2, Universität Essen, Fachbereich Mathematik, Essen, МИСТЕР 0533354
• де Шалит, Эхуд (1986), «Явный закон взаимности в локальной теории поля классов», Duke Math. Дж., 53 (1): 163–176, Дои:10.1215 / s0012-7094-86-05311-1, МИСТЕР 0835803
• Хенниарт, Гай (1981), "Sur les lois de réciprocité explicites. I.", J. Reine Angew. Математика. (На французском), 329: 177–203, МИСТЕР 0636453
• Ивасава, Кенкичи (1968), "О явных формулах для символа нормального вычета", J. Math. Soc. Япония, 20: 151–165, Дои:10.2969 / jmsj / 02010151, МИСТЕР 0229609
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. МИСТЕР 1697859. Zbl 0956.11021.
• Шафаревич, И. Р. (1950), "Общий закон взаимности", Мат. Сборник Н.С. (на русском), 26: 113–146, МИСТЕР 0031944
• Востоков, С. В. (1978), "Явная форма закона взаимности", Изв. Акад. АН СССР сер. Мат., 42 (6): 1288–1321, 1439, Дои:10.1070 / IM1979v013n03ABEH002077, МИСТЕР 0522940
• Уайлс, А. (1978). «Высшие явные законы взаимности». Анналы математики. 107 (2): 235–254. Дои:10.2307/1971143. JSTOR 1971143. МИСТЕР 0480442.

дальнейшее чтение

• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна, Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-66957-4, МИСТЕР 1761696, Zbl 0949.11002