WikiDer > Extrapolation

Hochrechnung ist die Erweiterung einer Reihe von Zahlen mit Punkten, die Draußen diese Reihe (Erweitern der Zahlenreihe mit Punkten, die innerhalb die serie lüge, ist Interpolation).

Die Extrapolation führt im Gegensatz zur Interpolation aufgrund der oft unbekannten Faktoren, die die Fortsetzung bestimmen, in der Regel zu Werten mit größerer Unsicherheit. Ein extrapolierter Wert kann als Vorhersage basierend auf bekannten Daten angesehen werden.

Mathematische Formulierung

Angenommen, das von einem Unbekannten Funktionf nur die Funktionswerte ${Anzeigestil f(x_{1}),f(x_{2}),Punkte,f(x_{n})}$ in der bekannt sein nein Punkte ${displaystyle x_{1}$. Bei der Extrapolation wird der Funktionswert anhand dieser Funktionswerte geschätzt value ${Anzeigestil f(a)}$ wo ein Draußen der Bereich der x-Werte liegt für die Funktionswerte bekannt sind, also für ${displaystyle a$ oder ${displaystyle a>x_{n}}$.

Für die Extrapolation sind verschiedene Techniken möglich. Einer ist der, der unten behandelt wird lineare Extrapolation.

Einige Beispiele

Vervollständigen oder Extrapolieren einer Reihe

Ein erstes Beispiel für eine Extrapolation ist das Vervollständigen einer Reihe, wie es in Rätseln verwendet wird oder Intelligenztests.

Die Reihe 10, 20, 30, .., .. wird mit 40, 50 ergänzt, vorausgesetzt es ist a arithmetische Reihe ist.

Die Folge 1, 4, 9, .., .. wird um 16, 25 extrapoliert, vorausgesetzt, es handelt sich um die Folge von Quadraten.

Schätzung der Höhe von Jantje im nächsten Jahr

Die unabhängige Achse kann beispielsweise eine Zeitachse sein: Vor vier Jahren war Jantje 1 Meter 20 lang, vor zwei Jahren war es 1 Meter 30, jetzt ist er 1 Meter 40 lang. Wie groß wird Jantje nächstes Jahr? Die Länge wird dann in zwei Jahren auf 1 Meter 50 hochgerechnet und somit im nächsten Jahr auf 1 Meter 45.

Das Gewicht eines kleinen Fisches schätzen

Ein anderes Beispiel ist ein Netz voller Fische. Ein Fisch mit einer Länge von 40 cm wiegt 2 kg. Ein weiterer 30 cm wiegt 0,8 kg und ein 20 cm großer Fisch wiegt 0,25 kg. Wie viel wiegt ein 6-Zoll-Fisch? Es gibt offenbar keinen linearen Zusammenhang zwischen der Länge und dem Gewicht des Fisches. Um zu einer Schätzung zu gelangen, muss dann eine Annahme über das Verhältnis zwischen Körpergröße und Gewicht getroffen werden, beispielsweise eine Extrapolation von 0,1 kg auf 15 cm.

Die Qualität der Extrapolation

Ein kleinerer Extrapolationsabstand ergibt eine bessere Schätzung

Vergleichen Sie mit dem Bild links: weniger Rauschen ergibt eine bessere Schätzung

Die Qualität der Extrapolation ist daher stark abhängig von unseren Wissen oder Annahme des mathematischen Modells, das die Messwerte verbindet. Die absolute Qualität der Extrapolation nimmt ab, wenn Extrapolationsabstand steigt: Die Schätzung von Jantjes Größe im nächsten Monat ist genauer als die Schätzung seiner Größe über drei Jahre. Aus statistischer Sicht ist die relative Ungenauigkeit jedoch für jede Entfernung gleich. Mit zunehmendem Abstand nimmt auch die absolute Ungenauigkeit zu. Die Qualität der Extrapolation nimmt auch ab, wenn die Lärm auf den Messwerten ist groß: wenn meine Waage sehr ungenau ist, dann wird es auch schwieriger, das Gewicht der kleinen Fische gut vorherzusagen, da ich schon nicht genau weiß, wie schwer die großen Fische sind.

Bei kleiner Korrelationslänge ist es besser, nur die letzten Punkte für die Extrapolation zu verwenden

Schließlich ist die Qualität der Extrapolation besser, wenn der Zusammenhang zwischen den Messwerten glatter ist (d. h. wenn die Korrelationslänge ist länger): Die Vorhersage der Größe von Jantje, die wächst, ist viel besser als die Vorhersage der stark schwankenden Aktienkurse. Die Extrapolation funktioniert innerhalb der Korrelationslänge einigermaßen gut, außerhalb davon schlecht. Eine Extrapolation kann über den gesamten Datensatz oder nur über die Datenpunkte vorgenommen werden, die dem vorhersagbaren Wert am nächsten sind. Dies hängt wiederum von der Korrelationslänge ab. Bei einer kleinen Korrelationslänge ist es am besten, nur die nächsten Datenpunkte zu verwenden.

Extrapolationsfunktionen

Extrapolation der Temperatur einer Tasse Tee mit einem Modell

Steile Extrapolationsfunktionen können die größten Extrapolationsfehler ergeben

Beispiele für Extrapolationsfunktionen sind Polynome (Null, erste, zweite usw.). Ein weiteres bekanntes Beispiel ist eine Exponentialfunktion. Oder wenn Sie ein gutes Modell des Prozesses haben, aus dem Sie Daten extrapolieren möchten, ist jede Funktion möglich. Ein Beispiel könnte die Funktion T1 (T2 - T1) * (1 - exp(- Zeit / Zeitkonstante)) für die Temperatur einer Tasse Tee mit Temperatur T1 = 90°C sein, die in einem Raum mit Temperatur T2 = . abkühlt 20°C . Wenn Sie kein gutes Modell haben, führen weniger steile Funktionen wahrscheinlich zu einer besseren Extrapolation. Also eher lineare Extrapolation als ein Polynom zweiter Ordnung. Und eher ein Polynom zweiter Ordnung als eine Exponentialfunktion.

Es können nicht nur 1-dimensionale Datensätze extrapoliert werden, sondern beispielsweise auch die Form einer Fläche (2-dimensionale Funktion) oder einer komplexen Funktion (mit Imaginärteil) extrapoliert werden.

Siehe auch

• Interpolation