WikiDer > Ядро Фейера

Fejér kernel

В математика, то Ядро Фейера это ядро суммируемости используется для выражения эффекта Чезаро суммирование на Ряд Фурье. Это неотрицательное ядро, дающее начало приблизительная личность. Он назван в честь венгерский язык математик Липот Фейер (1880–1959).

Участок из нескольких ядер Фейера

Определение

В Ядро Фейера определяется как

{ displaystyle F_ {n} (x) = { frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} D_ {k} (x),}

где

{ Displaystyle D_ {к} (х) = сумма _ {s = -k} ^ {k} { rm {e}} ^ {isx}}

это kй заказ Ядро Дирихле. Его также можно записать в закрытом виде как

{ displaystyle F_ {n} (x) = { frac {1} {n}} left ({ frac { sin { frac {nx} {2}}} { sin { frac {x}) {2}}}} right) ^ {2} = { frac {1} {n}} left ({ frac {1- cos (nx)} {1- cos x}} right) }

,

где это выражение определено.^[1]

Ядро Фейера также можно выразить как

{ displaystyle F_ {n} (x) = sum _ {| j | leq n-1} left (1 - { frac {| j |} {n}} right) e ^ {ijx}}

.

Свойства

Ядро Фейера - это ядро положительной суммируемости. Важное свойство ядра Фейера: ${ Displaystyle F_ {п} (х) geq 0}$ со средним значением ${ displaystyle 1}$ .

Свертка

В свертка F_п положительно: для ${ displaystyle f geq 0}$ периода ${ displaystyle 2 pi}$ это удовлетворяет

{ Displaystyle 0 Leq (е * F_ {п}) (х) = { гидроразрыва {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (y) F_ {n } (ху) , dy.}

поскольку ${ displaystyle f * D_ {n} = S_ {n} (f) = sum _ {| j | leq n} { widehat {f}} _ {j} e ^ {ijx}}$ , у нас есть ${ displaystyle f * F_ {n} = { frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} S_ {k} (f)}$ , который Чезаро суммирование рядов Фурье.

От Неравенство свертки Юнга,

{ displaystyle | F_ {n} * f | _ {L ^ {p} ([- pi, pi])} leq | f | _ {L ^ {p} ([- pi ,Пи ])}}

для каждого

{ displaystyle 1 leq p leq infty}

для ${ displaystyle f in L ^ {p}}$ .

Кроме того, если ${ Displaystyle е в L ^ {1} ([- пи, пи])}$ , тогда

{ displaystyle f * F_ {n} rightarrow f}

а.е.

поскольку ${ displaystyle [- pi, pi]}$ конечно, ${ displaystyle L ^ {1} ([- pi, pi]) supset L ^ {2} ([- pi, pi]) supset cdots supset L ^ { infty} ([- пи, пи])}$ , поэтому результат верен для других ${ Displaystyle L ^ {p}}$ пространства ${ displaystyle p geq 1}$ также.

Если ${ displaystyle f}$ непрерывна, то сходимость равномерна, что дает доказательство Теорема Вейерштрасса.

Одно из следствий поточечной п.в. сходимость - это единственность коэффициентов Фурье: если ${ displaystyle f, g in L ^ {1}}$ с участием ${ displaystyle { hat {f}} = { hat {g}}}$ , тогда ${ displaystyle f = g}$ а.е. Это следует из написания ${ displaystyle f * F_ {n} = sum _ {| j | leq n} left (1 - { frac {| j |} {n}} right) { hat {f}} _ { j} e ^ {ijt}}$ , который зависит только от коэффициентов Фурье.
Второе следствие состоит в том, что если ${ Displaystyle lim _ {п к infty} S_ {п} (е)}$ существует п.в., то ${ Displaystyle lim _ {п к infty} F_ {п} (е) = е}$ п.в., поскольку Чезаро означает ${ displaystyle F_ {n} * f}$ сходятся к исходному пределу последовательности, если он существует.