WikiDer > Проблема фильтрации (случайные процессы)

В теории случайные процессы, то проблема фильтрации представляет собой математическую модель для ряда задач оценки состояния в обработка сигнала и связанные области. Общая идея состоит в том, чтобы установить «наилучшую оценку» истинной ценности некоторой системы на основе неполного, потенциально зашумленного набора наблюдений за этой системой. Задача оптимальной нелинейной фильтрации (даже для нестационарного случая) решалась Руслан Львович Стратонович (1959,^[1] 1960^[2]), смотрите также Гарольд Дж. Кушнерработа ^[3] и Моше Закайs, который ввел упрощенную динамику для ненормализованного условного закона фильтра^[4] известный как Уравнение Закая. Однако в общем случае решение бесконечномерно.^[5] Некоторые приближения и частные случаи хорошо изучены: например, линейные фильтры оптимальны для гауссовских случайных величин и известны как Винеровский фильтр и Фильтр Калмана-Бьюси. В более общем плане, поскольку решение является бесконечномерным, оно требует реализации конечномерных приближений на компьютере с конечной памятью. Конечномерная приближенная нелинейный фильтр может быть больше основано на эвристиках, таких как Расширенный фильтр Калмана или фильтры предполагаемой плотности,^[6] или более методологически ориентированные, такие как, например, проекционные фильтры,^[7] показано, что некоторые подсемейства совпадают с фильтрами предполагаемой плотности.^[8]

В общем, если принцип разделения применяется, то фильтрация также возникает как часть решения оптимальный контроль проблема. Например, Фильтр Калмана является оценочной частью оптимального управляющего решения линейно-квадратично-гауссовское управление проблема.

Математический формализм

Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, Σ,п) и предположим, что (случайное) состояние Y_т в п-размерный Евклидово пространство р^п интересующей системы во время т это случайная переменная Y_т : Ω →р^п заданный решением Itō стохастическое дифференциальное уравнение формы

${ Displaystyle mathrm {d} Y_ {t} = b (t, Y_ {t}) , mathrm {d} t + sigma (t, Y_ {t}) , mathrm {d} B_ {t },}$

где B обозначает стандартный п-размерный Броуновское движение, б : [0, +∞) × р^п → р^п - поле дрейфа, а σ : [0, +∞) × р^п → р^п×п - поле диффузии. Предполагается, что наблюдения ЧАС_т в р^м (Обратите внимание, что м и п могут, в общем, быть неравными) берутся за каждый раз т согласно с

${ displaystyle H_ {t} = c (t, Y_ {t}) + gamma (t, Y_ {t}) cdot { mbox {noise}}.}$

Принятие интерпретации стохастического дифференциала Itō и установка

${ displaystyle Z_ {t} = int _ {0} ^ {t} H_ {s} , mathrm {d} s,}$

это дает следующее стохастическое интегральное представление для наблюдений Z_т:

${ Displaystyle mathrm {d} Z_ {t} = c (t, Y_ {t}) , mathrm {d} t + gamma (t, Y_ {t}) , mathrm {d} W_ {t },}$

где W обозначает стандартный р-размерный Броуновское движение, независим от B и начальное условие Y₀, и c : [0, +∞) × р^п → р^п и γ : [0, +∞) × р^п → р^п×р удовлетворить

${ displaystyle { big |} c (t, x) { big |} + { big |} gamma (t, x) { big |} leq C { big (} 1+ | x | { big)}}$

для всех т и Икс и некоторые постоянные C.

В проблема фильтрации следующее: данные наблюдения Z_s для 0 ≤s ≤ т, какова наилучшая оценка Ŷ_т истинного состояния Y_т системы, основанной на этих наблюдениях?

Под "на основе этих наблюдений" подразумевается, что Ŷ_т является измеримый с уважением к σ-алгебра г_т генерируется наблюдениями Z_s, 0 ≤ s ≤ т. Обозначим через K = K(Z, т) быть собранием всех р^п-значные случайные величины Y которые интегрируемы с квадратом и г_т-измеримые:

${ Displaystyle К = К (Z, t) = L ^ {2} ( Omega, G_ {t}, mathbf {P}; mathbf {R} ^ {n}).}$

Под "наилучшей оценкой" подразумевается, что Ŷ_т минимизирует среднеквадратичное расстояние между Y_т и все кандидаты в K:

${ displaystyle mathbf {E} left [{ big |} Y_ {t} - { hat {Y}} _ {t} { big |} ^ {2} right] = inf _ {Y in K} mathbf {E} left [{ big |} Y_ {t} -Y { big |} ^ {2} right]. qquad { mbox {(M)}}}$

Основной результат: ортогональная проекция

Космос K(Z, т) кандидатов является Гильбертово пространство, а из общей теории гильбертовых пространств следует, что решение Ŷ_т задачи минимизации (M) задается формулой

${ displaystyle { hat {Y}} _ {t} = P_ {K (Z, t)} { big (} Y_ {t} { big)},}$

где п_K(Z,т) обозначает ортогональная проекция из L²(Ω, Σ,п; р^п) на линейное подпространство K(Z, т) = L²(Ω,г_т, п; р^п). Более того, это общий факт о условные ожидания что если F есть ли суб-σ-алгебра Σ, то ортогональная проекция

${ displaystyle P_ {K}: L ^ {2} ( Omega, Sigma, mathbf {P}; mathbf {R} ^ {n}) to L ^ {2} ( Omega, F, mathbf {P}; mathbf {R} ^ {n})}$

это в точности оператор условного ожидания E[·|F], т. е.

${ displaystyle P_ {K} (X) = mathbf {E} { big [} X { big |} F { big]}.}$

Следовательно,

${ displaystyle { hat {Y}} _ {t} = P_ {K (Z, t)} { big (} Y_ {t} { big)} = mathbf {E} { big [} Y_ {t} { big |} G_ {t} { big]}.}$

Этот элементарный результат лежит в основе общего уравнения теории фильтрации Фудзисаки-Каллианпура-Куниты.

Смотрите также

• В Проблема сглаживания тесно связан с Проблема с фильтрацией.
• Фильтрация (значения)
• Не путать с Фильтр (обработка сигнала)
• Фильтр Калмана самый известный алгоритм фильтрации в смысле «проблема фильтрации» и «проблема сглаживания».
• Сглаживание (не путать с проблемой сглаживания)
• Сглаживание (значения)

использованная литература

• Язвински, Эндрю Х. (1970). Случайные процессы и теория фильтрации. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 0-12-381550-9.
• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (Шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (См. Раздел 6.1)