WikiDer > Конечная потенциальная яма

Finite potential well

В конечная потенциальная яма (также известный как конечный квадратный колодец) - концепция из квантовая механика. Это продолжение бесконечная потенциальная яма, в котором частица заключена в "ящик", но имеющий конечные потенциал «стены». В отличие от бесконечной потенциальной ямы существует вероятность связанный с частицей, находящейся вне коробки. Квантово-механическая интерпретация отличается от классической интерпретации, где, если полная энергия частицы меньше, чем потенциальный энергетический барьер стенок, ее невозможно найти вне коробки. В квантовой интерпретации существует ненулевая вероятность того, что частица окажется вне ящика, даже если энергия частицы меньше, чем потенциальный энергетический барьер стенок (см. квантовое туннелирование).

Частица в одномерном ящике

Для одномерного случая на Иксось, не зависящее от времени уравнение Шредингера можно записать как:

куда

,
является Постоянная Планка,
это масса частицы,
является (комплексным) волновая функция что мы хотим найти,
- функция, описывающая потенциальную энергию в каждой точке Икс, и
это энергия, действительное число, иногда называемое собственной энергией.


Для случая частицы в одномерном ящике длиной L, потенциал нестандартно, и ноль для Икс между и . Считается, что волновая функция состоит из разных волновых функций в разных диапазонах Икс, в зависимости от того, Икс находится внутри или вне коробки. Следовательно, волновая функция определяется так, что:

Внутри коробки

Для региона Внутри коробки V(Икс) = 0 и уравнение 1 сводится к

Сдача

уравнение становится

Это хорошо изученный дифференциальное уравнение и собственное значение проблема с общим решением

Следовательно,

Здесь, А и B может быть любым сложные числа, и k может быть любым действительным числом.

Нестандартно

Для области за пределами коробки, поскольку потенциал постоянен, V(Икс) = и уравнение 1 становится:

Есть два возможных семейства решений, в зависимости от того, E меньше чем (частица связана в потенциале) или E больше, чем (частица свободна).

Для свободной частицы E > , и позволяя

производит

с той же формой решения, что и внутрискважинный корпус:

Этот анализ будет сосредоточен на связанном состоянии, где > E. Сдача

производит

где общее решение экспоненциально:

Точно так же для другого региона за пределами коробки:

Теперь, чтобы найти конкретное решение для данной проблемы, мы должны указать соответствующие граничные условия и найти значения для А, B, F, грамм, ЧАС и я которые удовлетворяют этим условиям.

Нахождение волновых функций связанного состояния

Решения уравнения Шредингера должны быть непрерывными и непрерывно дифференцируемыми.[1] Эти требования граничные условия на ранее полученные дифференциальные уравнения, то есть условия согласования между решениями внутри и вне скважины.

В этом случае конечная потенциальная яма является симметричной, поэтому можно использовать симметрию для сокращения необходимых вычислений.

Обобщая предыдущие разделы:

где мы нашли и быть:

Мы видим это как идет в , то срок уходит в бесконечность. Точно так же, как идет в , то срок уходит в бесконечность. Для того чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой, мы должны положить , и у нас есть:

и

Далее мы знаем, что общая функция должна быть непрерывной и дифференцируемой. Другими словами, значения функций и их производных должны совпадать в точках разделения:

Эти уравнения имеют два типа решений, симметричные, для которых и , и антисимметричный, для которого и . Для симметричного случая получаем

поэтому принимая соотношение дает

Корни уравнения для квантованных уровней энергии
.

Аналогично для антисимметричного случая получаем

.

Напомним, что оба и зависят от энергии. Мы обнаружили, что условия непрерывности не можешь выполняться при произвольном значении энергии; потому что это результат случая бесконечной потенциальной ямы. Таким образом, разрешены только определенные значения энергии, которые являются решениями одного или любого из этих двух уравнений. Отсюда мы находим, что энергетические уровни системы ниже дискретны; соответствующие собственные функции связанные состояния. (Напротив, для уровней энергии выше непрерывны.[2])

Уравнения энергии не могут быть решены аналитически. Тем не менее мы увидим, что в симметричном случае всегда существует хотя бы одно связанное состояние, даже если яма очень мелкая.[3]Графические или численные решения уравнений энергии можно облегчить, если их немного переписать. Если ввести безразмерные переменные и , и обратите внимание на определения и который , куда , основные уравнения читаются

В сюжете справа, для , решения существуют там, где синий полукруг пересекает фиолетовые или серые кривые ( и ). Каждая фиолетовая или серая кривая представляет возможное решение, в пределах диапазона . Общее количество решений, , (т.е. количество пурпурных / серых кривых, которые пересекаются синим кругом), поэтому определяется путем деления радиуса синего круга, , по диапазону каждого решения и используя функции пола или потолка:[4]

В этом случае есть ровно три решения, так как .

Решения конечной квадратной ямы

и , с соответствующими энергиями

.

При желании можно вернуться назад и найти значения констант в уравнения (еще нужно наложить условие нормировки). Справа показаны уровни энергии и волновые функции в этом случае (где ):

Отметим, что сколь бы малыми есть (какой бы мелкой или узкой ни была скважина), всегда есть хотя бы одно связанное состояние.

Следует отметить два особых случая. Когда высота потенциала становится большой, , радиус полукруга становится больше, а корни все ближе и ближе к значениям , и мы восстанавливаем случай бесконечный квадратный колодец.

Другой случай - очень узкий, глубокий колодец - конкретно случай и с фиксированный. В качестве он будет стремиться к нулю, и поэтому будет только одно связанное состояние. Приближенное решение тогда , а энергия стремится к . Но это всего лишь энергия связанного состояния Дельта-функция потенциала силы , так, как это должно быть.

Более простое графическое решение для уровней энергии может быть получено путем нормировки потенциала и энергии путем умножения на . Нормализованные количества:

дающий напрямую отношения между разрешенными парами в качестве[5]

для волновых функций четной и нечетной четности соответственно. В предыдущих уравнениях необходимо учитывать только положительные производные части функций. Диаграмма с указанием допустимых пар сообщается на рисунке.

РисунокV0E QuantumWell.png

Примечание. Приведенный выше вывод не учитывает возможность того, что эффективная масса частицы может быть различной внутри потенциальной ямы и в области вне ямы.

Несвязанные состояния

Если мы решим не зависящее от времени уравнение Шредингера для энергии , решения будут колебательными как внутри, так и вне скважины. Таким образом, решение никогда не бывает квадратично интегрируемым; то есть это всегда ненормализуемое состояние. Однако это не означает, что квантовая частица не может иметь энергию больше, чем , это просто означает, что система имеет непрерывный спектр над . Ненормализуемые собственные состояния достаточно близки к квадратичной интегрируемости, чтобы вносить вклад в спектр гамильтониана как неограниченного оператора.[6]

Асимметричный колодец

Рассмотрим одномерную асимметричную потенциальную яму, заданную потенциалом[7]

с . Соответствующее решение для волновой функции с оказывается

и

Уровни энергии определяются один раз решается как корень следующего трансцендентного уравнения

куда Существование корня к вышеуказанному уравнению не всегда гарантируется, например, всегда можно найти значение настолько мал, что для заданных значений и , дискретного уровня энергии не существует. Результат для симметричной скважины получается из приведенного выше уравнения, задав .

Сферическая полость

Приведенные выше результаты могут быть использованы, чтобы показать, что, в отличие от одномерного случая, не всегда существует связанное состояние в сферической полости.

Основное состояние (n = 1) сферически-симметричного потенциала всегда будет иметь нулевой орбитальный угловой момент (l = n-1), а приведенная волновая функция удовлетворяет уравнению

Это идентично одномерному уравнению, за исключением граничных условий. Как прежде, и его первая производная должна быть непрерывной на краю ямы . Однако есть еще одно условие: должно быть конечным, а это требует .

Сравнивая с решениями выше, мы видим, что только антисимметричные решения имеют узлы в начале координат. Таким образом, только решения разрешены. Они соответствуют пересечению полукруга с серыми кривыми, поэтому, если полость слишком мала или неглубокая, связанного состояния не будет.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Зал 2013 Предложение 5.1.
  2. ^ Зал 2013 Раздел 5.5
  3. ^ Зал 2013 Предложение 5.3.
  4. ^ Уильямс, Флойд (2003). Темы квантовой механики. Springer Science + Business Media. п. 57. ISBN 978-1-4612-6571-9.
  5. ^ Киани, М. (2016). «График уровней энергии квадратной квантовой ямы». arXiv:1610.04468 [Physics.gen-ph].
  6. ^ Зал 2013 Раздел 5.5 и упражнение 4 в главе 3
  7. ^ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Э. М. (2013). Квантовая механика: нерелятивистская теория (Том 3). Эльзевир.

дальнейшее чтение

  • Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-111892-7.
  • Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Springer.