WikiDer > Группа Фишера

Fischer group

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группы Фишера три спорадические простые группы Fi22, Fi23 и Fi24 представлен Бернд Фишер (1971, 1976).

3-транспозиционные группы

Группы Фишера названы в честь Бернд Фишер открывшим их при исследовании 3-транспозиционных групп. Это группы грамм со следующими свойствами:

  • грамм порождается класс сопряженности элементов порядка 2, называемых «транспозициями Фишера» или 3-транспозициями.
  • Произведение любых двух различных транспозиций имеет порядок 2 или 3.

Типичный пример 3-транспозиционной группы - это симметричная группа, где транспозиции Фишера на самом деле являются транспозициями. Симметрическая группа Sп может быть сгенерирован п − 1 транспозиции: (12), (23), ..., (п − 1, п).

Фишер смог классифицировать группы с 3 транспозициями, которые удовлетворяют определенным дополнительным техническим условиям. Группы, которые он нашел, в основном распадались на несколько бесконечных классов (помимо симметрических групп: определенные классы симплектических, унитарных и ортогональных групп), но он также обнаружил 3 очень большие новые группы. Эти группы обычно называют Fi22, Fi23 и Fi24. Первые две из них - простые группы, а третья содержит простую группу Fi24' из индекс 2.

Отправной точкой для групп Фишера является унитарная группа PSU6(2), которую можно представить как группу Fi21 в серии групп Фишера порядка 9,196,830,720 = 215⋅36⋅5⋅7⋅11. Собственно это двойная крышка 2.БП.6(2) которая становится подгруппой новой группы. Это стабилизатор одной вершины в графе из 3510 (= 2⋅33⋅5⋅13). Эти вершины идентифицируются как сопряженные 3-транспозиции в группе симметрии Fi22 графа.

Группы Фишера названы по аналогии с большим Матье группы. В Fi22 максимальный набор 3-транспозиций, все коммутирующие друг с другом, имеет размер 22 и называется базовый набор. Есть 1024 3-транспозиций, называемых анабазный которые не коммутируют ни с одним в конкретном базовом наборе. Любой из 2364, называемый гексадический, коммутирует с 6 основными. Наборы из 6 образуют S (3,6,22) Система Штейнера, группа симметрии которого M22. Базовый набор порождает абелеву группу порядка 210, которая продолжается в Fi22 в подгруппу 210: M22.

Следующая группа Фишера идет относительно 2.Fi22 как одноточечный стабилизатор для графика 31671 (= 34⋅17⋅23) вершин, и рассматривая эти вершины как 3-транспозиции в группе Fi23. 3-транспозиции входят в базовые наборы по 23, 7 из которых коммутируют с заданной внешней 3-транспозицией.

Следующий берет Fi23 и рассматривает его как одноточечный стабилизатор для графика 306936 (= 23⋅33⋅72⋅29) вершин, составляющих группу Fi24. 3-транспозиции входят в базовые наборы по 24, восемь из которых коммутируют с заданной внешней 3-транспозицией. Группа Fi24 не проста, но ее производная подгруппа имеет индекс 2 и является спорадической простой группой.

Обозначение

Для этих групп нет общепринятых обозначений. Некоторые авторы используют F вместо Fi (F22Обозначения Фишера для них были M (22), M (23) и M (24) ′, что подчеркивало их тесную связь с тремя крупнейшимиМатье группы, М22, М23 И м24.

Одним из источников путаницы является то, что Fi24 иногда используется для обозначения простой группы Fi24′, И иногда используется для обозначения полной группы с 3 транспонированием (которая в два раза больше).

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 г. предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром, но подобные явления могут быть обнаружены и у других групп. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить разложения многих Hauptmoduln (главных или главных модулей) из простых комбинаций размерностей спорадических групп.

Рекомендации

  • Ашбахер, Михаэль (1997), 3-транспозиционные группы, Кембриджские трактаты по математике, 124, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511759413, ISBN 978-0-521-57196-8, МИСТЕР 1423599 содержит полное доказательство теоремы Фишера.
  • Фишер, Бернд (1971), "Конечные группы, порожденные 3-транспозициями. I", Inventiones Mathematicae, 13 (3): 232–246, Дои:10.1007 / BF01404633, ISSN 0020-9910, МИСТЕР 0294487 Это первая часть препринта Фишера о построении его групп. Остальная часть статьи не опубликована (по состоянию на 2010 г.).
  • Фишер, Бернд (1976), Конечные группы, порожденные 3-транспозициями, Препринт, Математический институт, Уорикский университет
  • Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы, Тексты для выпускников по математике 251, 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012
  • Уилсон, Р. А. "Атлас представления конечных групп"
    https://web.archive.org/web/20171204142908/http://for.mat.bham.ac.uk/atlas/html/contents.html#spo