WikiDer > Фуксова модель

В математика, а Фуксова модель является представлением гиперболического Риманова поверхность р как частное от верхняя полуплоскость ЧАС по Фуксова группа. Каждая гиперболическая риманова поверхность допускает такое представление. Концепция названа в честь Лазарь Фукс.

Более точное определение

Посредством теорема униформизации, каждая риманова поверхность либо эллиптический, параболический или же гиперболический. Точнее, эта теорема утверждает, что риманова поверхность ${ displaystyle R}$ который не изоморфен ни сфере Римана (эллиптический случай), ни факторизации комплексной плоскости по дискретной подгруппе (параболический случай), должен быть частным из гиперболическая плоскость ${ displaystyle mathbb {H}}$ подгруппой ${ displaystyle Gamma}$ игра актеров правильно прерывисто и свободно.

в Модель полуплоскости Пуанкаре для гиперболической плоскости группа биголоморфные преобразования это группа ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ действуя омографии, а теорема об униформизации означает, что существует дискретный, без кручения подгруппа ${ displaystyle Gamma subset mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ такая, что риманова поверхность ${ displaystyle Gamma backslash mathbb {H}}$ изоморфен ${ displaystyle R}$. Такая группа называется фуксовой группой, и изоморфизм ${ Displaystyle R cong Gamma backslash mathbb {H}}$ называется фуксовой моделью для ${ displaystyle R}$.

Фуксовы модели и пространство Тейхмюллера

Позволять ${ displaystyle R}$ - замкнутая гиперболическая поверхность и пусть ${ displaystyle Gamma}$ - фуксова группа, так что ${ displaystyle Gamma backslash mathbb {H}}$ фуксова модель для ${ displaystyle R}$. Позволять

${ Displaystyle A ( Gamma) = { rho двоеточие Gamma to mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R}) двоеточие rho { mbox {точный и дискретный}} }}$

и снабдим это множество топологией поточечной сходимости (иногда называемой «алгебраической сходимостью»). В данном конкретном случае эту топологию проще всего определить следующим образом: группа ${ displaystyle Gamma}$ является конечно порожденный поскольку он изоморфен фундаментальной группе ${ displaystyle R}$. Позволять ${ displaystyle g_ {1}, ldots, g_ {r}}$ быть генераторной установкой: тогда любой ${ Displaystyle Rho в А ( Гамма)}$ определяется элементами ${ Displaystyle rho (g_ {1}), ldots, rho (g_ {r})}$ и поэтому мы можем идентифицировать ${ Displaystyle А ( Гамма)}$ с подмножеством ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R}) ^ {r}}$ по карте ${ Displaystyle rho mapsto ( rho (g_ {1}), ldots, rho (g_ {r}))}$. Затем мы придаем ему топологию подпространства.

В Теорема об изоморфизме Нильсена (это нестандартная терминология, и этот результат не имеет прямого отношения к Теорема Дена – Нильсена) тогда имеет место следующее утверждение:

Для любого ${ Displaystyle Rho в А ( Гамма)}$ существует само-гомеоморфизм (на самом деле квазиконформное отображение) ${ displaystyle h}$ верхней полуплоскости ${ displaystyle mathbb {H}}$ такой, что ${ Displaystyle ч circ gamma circ h ^ {- 1} = rho ( gamma)}$ для всех ${ displaystyle gamma in Gamma}$.

Доказательство очень простое: выберите гомеоморфизм ${ Displaystyle R к rho ( Gamma) обратная косая черта mathbb {H}}$ и поднимем на гиперболическую плоскость. Взятие диффеоморфизма дает квазиконформное отображение, поскольку ${ displaystyle R}$ компактный.

Этот результат можно рассматривать как эквивалентность двух моделей для Пространство Тейхмюллера из ${ displaystyle R}$: множество дискретных точных представлений фундаментальной группы ${ displaystyle pi _ {1} (R)}$ в ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ по модулю сопряженности и множество отмеченных римановых поверхностей ${ displaystyle (X, f)}$ куда ${ displaystyle f двоеточие R to X}$ является квазиконформным гомеоморфизмом по модулю естественного отношения эквивалентности.

Рекомендации

Matsuzaki, K .; Танигучи, М .: Гиперболические многообразия и клейновы группы. Оксфорд (1998).

Смотрите также

• то Кляйнианская модель, аналогичная конструкция для 3-х коллекторы
• Фундаментальный многоугольник