WikiDer > Фуксова модель

Fuchsian model

В математика, а Фуксова модель является представлением гиперболического Риманова поверхность р как частное от верхняя полуплоскость ЧАС по Фуксова группа. Каждая гиперболическая риманова поверхность допускает такое представление. Концепция названа в честь Лазарь Фукс.

Более точное определение

Посредством теорема униформизации, каждая риманова поверхность либо эллиптический, параболический или же гиперболический. Точнее, эта теорема утверждает, что риманова поверхность который не изоморфен ни сфере Римана (эллиптический случай), ни факторизации комплексной плоскости по дискретной подгруппе (параболический случай), должен быть частным из гиперболическая плоскость подгруппой игра актеров правильно прерывисто и свободно.

в Модель полуплоскости Пуанкаре для гиперболической плоскости группа биголоморфные преобразования это группа действуя омографии, а теорема об униформизации означает, что существует дискретный, без кручения подгруппа такая, что риманова поверхность изоморфен . Такая группа называется фуксовой группой, и изоморфизм называется фуксовой моделью для .

Фуксовы модели и пространство Тейхмюллера

Позволять - замкнутая гиперболическая поверхность и пусть - фуксова группа, так что фуксова модель для . Позволять

и снабдим это множество топологией поточечной сходимости (иногда называемой «алгебраической сходимостью»). В данном конкретном случае эту топологию проще всего определить следующим образом: группа является конечно порожденный поскольку он изоморфен фундаментальной группе . Позволять быть генераторной установкой: тогда любой определяется элементами и поэтому мы можем идентифицировать с подмножеством по карте . Затем мы придаем ему топологию подпространства.

В Теорема об изоморфизме Нильсена (это нестандартная терминология, и этот результат не имеет прямого отношения к Теорема Дена – Нильсена) тогда имеет место следующее утверждение:

Для любого существует само-гомеоморфизм (на самом деле квазиконформное отображение) верхней полуплоскости такой, что для всех .

Доказательство очень простое: выберите гомеоморфизм и поднимем на гиперболическую плоскость. Взятие диффеоморфизма дает квазиконформное отображение, поскольку компактный.

Этот результат можно рассматривать как эквивалентность двух моделей для Пространство Тейхмюллера из : множество дискретных точных представлений фундаментальной группы в по модулю сопряженности и множество отмеченных римановых поверхностей куда является квазиконформным гомеоморфизмом по модулю естественного отношения эквивалентности.

Рекомендации

Matsuzaki, K .; Танигучи, М .: Гиперболические многообразия и клейновы группы. Оксфорд (1998).

Смотрите также