WikiDer > Оператор Гаусса – Кузьмина – Вирсинга.

В математика, то Оператор Гаусса – Кузмина – Вирсинга это оператор передачи карты Гаусса. Он назван в честь Карл Гаусс, Родион Кузьмин, и Эдуард Вирсинг. Это происходит при изучении непрерывные дроби; это также связано с Дзета-функция Римана.

Связь с картами и цепными дробями

Карта Гаусса

Файл: функция Гаусса

Функция Гаусса (карта) h:

${ displaystyle h (x) = 1 / x- lfloor 1 / x rfloor.}$

куда:

• ${ displaystyle lfloor 1 / x rfloor}$ обозначает функция пола

У него бесконечное количество скачкообразные разрывы при x = 1 / n для положительных целых чисел n. Его трудно аппроксимировать одним гладким многочленом.^[1]

Оператор на картах

Метод Гаусса – Кузьмина – Вирсинга оператор ${ displaystyle G}$ действует по функциям ${ displaystyle f}$ в качестве

${ displaystyle [Gf] (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {(x + n) ^ {2}}} f left ({ frac {1 } {x + n}} right).}$

Собственные значения оператора

Первый собственная функция этого оператора

${ displaystyle { frac {1} { ln 2}} { frac {1} {1 + x}}}$

что соответствует собственное значение из λ₁= 1. Эта собственная функция дает вероятность появления данного целого числа в разложении непрерывной дроби и известна как Распределение Гаусса – Кузьмина. Это частично следует из того, что отображение Гаусса действует как усекающий оператор смены для непрерывные дроби: если

${ displaystyle x = [0; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, dots]}$

представляет собой представление в виде цепной дроби числа 0 <Икс <1, то

${ displaystyle h (x) = [0; a_ {2}, a_ {3}, dots].}$

Дополнительные собственные значения можно вычислить численно; следующее собственное значение λ₂ = −0.3036630029 ... (последовательность A038517 в OEIS), а его абсолютное значение известно как Постоянная Гаусса – Кузмина – Вирсинга.. Аналитические формы дополнительных собственных функций неизвестны. Неизвестно, равны ли собственные значения иррациональный.

Расположим собственные значения оператора Гаусса – Кузмина – Вирсинга по модулю:

${ displaystyle 1 = | lambda _ {1} | geq | lambda _ {2} | geq | lambda _ {3} | geq cdots.}$

Это было предположено в 1995 г. Филипп Флажоле и Брижит Валле который

${ displaystyle lim limits _ {n rightarrow infty} { frac { lambda _ {n}} { lambda _ {n + 1}}} = - phi ^ {2}, { text { где}} phi = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}.}$

В 2014 году эту гипотезу доказал Гедрюс Алкаускас.^[2] Более того, имеет место следующий асимптотический результат:

${ displaystyle (-1) ^ {n + 1} lambda _ {n} = phi ^ {- 2n} + C cdot { frac { phi ^ {- 2n}} { sqrt {n}} } + d (n) cdot { frac { phi ^ {- 2n}} {n}}, { text {где}} C = { frac {{ sqrt [{4}] {5}} cdot zeta (3/2)} {2 { sqrt { pi}}}} = 1.1019785625880999 _ {+};}$

здесь функция ${ Displaystyle d (п)}$ ограничен, и ${ Displaystyle zeta ( звезда)}$ это Дзета-функция Римана.

Непрерывный спектр

Собственные значения образуют дискретный спектр, когда оператор ограничен воздействием на функции на единичном интервале действительной числовой линии. В более широком смысле, поскольку отображение Гаусса является оператором сдвига на Пространство Бэра ${ Displaystyle mathbb {N} ^ { omega}}$, оператор GKW также можно рассматривать как оператор в функциональном пространстве ${ Displaystyle mathbb {N} ^ { omega} to mathbb {C}}$ (считается Банахово пространство, в качестве базисных функций индикаторные функции на цилиндры из топология продукта). В последнем случае он имеет непрерывный спектр с собственными значениями в единичном круге ${ displaystyle | lambda | <1}$ комплексной плоскости. То есть с учетом цилиндра ${ displaystyle C_ {n} [b] = {(a_ {1}, a_ {2}, cdots) in mathbb {N} ^ { omega}: a_ {n} = b }}$, оператор G сдвигает его влево: ${ Displaystyle GC_ {n} [b] = C_ {n-1} [b]}$. Принимая ${ displaystyle r_ {n, b} (x)}$ быть индикаторной функцией, которая равна 1 на цилиндре (когда ${ displaystyle x in C_ {n} [b]}$), а в противном случае - ноль, имеем ${ displaystyle Gr_ {n, b} = r_ {n-1, b}}$. Сериал

${ displaystyle f (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} lambda ^ {n-1} r_ {n, b} (x)}$

тогда - собственная функция с собственным значением ${ displaystyle lambda}$. То есть есть ${ displaystyle [Gf] (x) = lambda f (x)}$ всякий раз, когда суммирование сходится: то есть, когда ${ displaystyle | lambda | <1}$.

Особый случай возникает, когда хочется рассмотреть Мера Хаара оператора сдвига, т. е. инвариантной относительно сдвигов функции. Это дано Мера Минковского ${ displaystyle? ^ { prime}}$. То есть есть что ${ Displaystyle G? ^ { prime} =? ^ { prime}}$.^[3]

Связь с дзета-функцией Римана

Оператор GKW связан с Дзета-функция Римана. Обратите внимание, что дзета-функция может быть записана как

${ displaystyle zeta (s) = { frac {1} {s-1}} - s int _ {0} ^ {1} h (x) x ^ {s-1} ; dx}$

откуда следует, что

${ displaystyle zeta (s) = { frac {s} {s-1}} - s int _ {0} ^ {1} x left [Gx ^ {s-1} right] , dx }$

заменой переменной.

Матричные элементы

Рассмотрим Серия Тейлор разложения при x = 1 для функции ж(Икс) и ${ Displaystyle г (х) = [Gf] (х)}$. То есть пусть

${ displaystyle f (1-x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} (- x) ^ {n} { frac {f ^ {(n)} (1)} {n!} }}$

и напишите аналогично для грамм(Икс). Расширение сделано около Икс = 1, потому что оператор GKW плохо себя ведет в Икс = 0. Расширение делается около 1-x, так что мы можем сохранить Икс положительное число, 0 ≤Икс ≤ 1. Тогда оператор GKW действует на коэффициенты Тейлора как

${ displaystyle (-1) ^ {m} { frac {g ^ {(m)} (1)} {m!}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} G_ {mn} ( -1) ^ {n} { frac {f ^ {(n)} (1)} {n!}},}$

где матричные элементы оператора GKW имеют вид

${ displaystyle G_ {mn} = sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n choose k} {k + m + 1 choose m} left [ zeta ( k + m + 2) -1 right].}$

Этот оператор очень хорошо сформирован и, следовательно, очень легко поддается числовой обработке. Постоянная Гаусса – Кузьмина легко вычисляется с высокой точностью путем численной диагонализации верхнего левого угла. п к п часть. Не существует известного выражения в закрытой форме, которое диагонализирует этот оператор; то есть нет никаких известных выражений в замкнутой форме для собственных векторов.

Риман Зета

Дзета Римана может быть записана как

${ displaystyle zeta (s) = { frac {s} {s-1}} - s sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} {s-1 choose п} т_ {п}}$

где ${ displaystyle t_ {n}}$ задаются матричными элементами выше:

${ displaystyle t_ {n} = sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {G_ {mn}} {(m + 1) (m + 2)}}.}.$

Выполняя суммирование, получаем:

${ displaystyle t_ {n} = 1- gamma + sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n select k} left [{ frac {1} {k }} - { frac { zeta (k + 1)} {k + 1}} right]}$

куда ${ displaystyle gamma}$ это Константа Эйлера – Маскерони. Эти ${ displaystyle t_ {n}}$ играть аналог Константы Стилтьеса, но для падающий факториал расширение. Написав

${ displaystyle a_ {n} = t_ {n} - { frac {1} {2 (n + 1)}}}$

получается: а₀ = −0,0772156 ... и а₁ = −0.00474863 ... и так далее. Значения быстро становятся маленькими, но колеблются. Могут быть выполнены некоторые явные суммы этих значений. Их можно явно связать с константами Стилтьеса, перевыразив падающий факториал в виде полинома с Число Стирлинга коэффициенты, а затем решение. В более общем смысле дзета Римана может быть переформулирована как расширение в терминах Последовательности Шеффера многочленов.

Это расширение дзеты Римана исследуется в следующих ссылках.^{[4][5][6][7][8]} Коэффициенты убывают как

${ displaystyle left ({ frac {2n} { pi}} right) ^ {1/4} e ^ {- { sqrt {4 pi n}}} cos left ({ sqrt { 4 pi n}} - { frac {5 pi} {8}} right) + { mathcal {O}} left ({ frac {e ^ {- { sqrt {4 pi n}) }}} {n ^ {1/4}}} right).}$

Рекомендации

Общие ссылки

• А.Я. Хинчин, Непрерывные дроби, 1935, английский перевод University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8 (См. Раздел 15).
• К. И. Бабенко, К проблеме Гаусса, Советские математические доклады. 19:136–140 (1978) МИСТЕР472746
• К. И. Бабенко, С. П. Юрьев, О дискретизации задачи Гаусса, Советские математические доклады. 19:731–735 (1978). МИСТЕР499751
• А. Дурнер, Об одной теореме Гаусса – Кузьмина – Леви. Arch. Математика. 58, 251–256, (1992). МИСТЕР1148200
• А. Дж. Маклауд, Численные значения высокой точности задачи непрерывных дробей Гаусса – Кузьмина. Компьютеры Math. Appl. 26, 37–44, (1993).
• Э. Вирсинг, О теореме Гаусса – Кузьмина – Леви и теореме типа Фробениуса для функциональных пространств. Acta Arith. 24, 507–528, (1974). МИСТЕР337868

дальнейшее чтение

• Кейт Бриггс, Точное вычисление постоянной Гаусса – Кузьмина – Вирсинга (2003) (Содержит очень обширную коллекцию ссылок.)
• Филипп Флажолет и Брижит Валле, О постоянной Гаусса – Кузьмина – Вирсинга. (1995).
• Линас Вепстас Оператор Бернулли, оператор Гаусса – Кузмина – Вирсинга и дзета Римана. (2004) (PDF)

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Гаусса-Кузьмина-Вирсинга». MathWorld.
• OEIS последовательность A038517 (десятичное разложение константы Гаусса-Кузмина-Вирсинга)