WikiDer > Постоянная Гомперца

В математика, то Постоянная Гомперца или же Постоянная Эйлера – Гомперца, обозначаемый ${ displaystyle G}$, появляется в интегральных оценках и как значение специальные функции. Он назван в честь Б. Гомпертц.

Его можно определить как непрерывная дробь

${ displaystyle G = { frac {1} {2 - { frac {1} {4 - { frac {4} {6 - { frac {9} {8 - { frac {16} {10- { frac {25} {12 - { frac {36} {14 - { frac {49} {16- dots}}}}}}}}}}}}}}}},}$

или, альтернативно,

${ Displaystyle G = { frac {1} {1 + { frac {1} {1 + { frac {1} {1 + { frac {2} {1 + { frac {2} {1+) { frac {3} {1 + { frac {3} {1 + { frac {4} {1+ dots}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Наиболее частое появление ${ displaystyle G}$ находится в следующих интегралах:

${ Displaystyle G = int _ {0} ^ { infty} ln (1 + x) e ^ {- x} dx = int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- x}} {1 + x}} dx = int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1- log (x)}} dx.}$

Числовое значение ${ displaystyle G}$ около

${ displaystyle G = 0,596347362323194074341078499369279376074 dots}$

Когда Эйлер изучал расходящиеся бесконечные ряды, он столкнулся с ${ displaystyle G}$ через, например, указанные выше интегральные представления. Le Lionnais называется ${ displaystyle G}$ постоянная Гомперца из-за ее роли в анализ выживаемости.^[1]

В 2009 году Александр Аптекарев доказал, что по крайней мере один из Константа Эйлера – Маскерони а постоянная Эйлера – Гомперца равна иррациональный. Этот результат был улучшен в 2012 году Танги Ривоал, где он доказал, что по крайней мере один из них трансцендентный.^[2][3][4]

Тождества с участием постоянной Гомперца

Постоянная ${ displaystyle G}$ может быть выражено экспоненциальный интеграл в качестве

${ displaystyle G = -e { textrm {Ei}} (- 1).}$

Применяя разложение Тейлора ${ displaystyle { textrm {Ei}}}$ у нас есть представление серии

${ Displaystyle G = -e left ( gamma + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n cdot n!}} right) .}$

Постоянная Гомперца связана с Коэффициенты Грегори по формуле 2013 г. И. Мезо:^[5]

${ displaystyle G = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { ln (n + 1)} {n!}} - sum _ {n = 0} ^ { infty} C_ {n + 1} {e cdot n! } - { frac {1} {2}}.}$

внешняя ссылка

• Вольфрам MathWorld
• Запись OEIS

Примечания