WikiDer > Алгебра Гудмана – Нгуена – ван Фраассена

Goodman–Nguyen–van Fraassen algebra

А Алгебра Гудмана – Нгуена – ван Фраассена это тип условная алгебра событий (CEA), который включает стандарт Булева алгебра безусловных событий в более крупной алгебре, которая сама является булевой. Цель (как и для всех CEA) - приравнять условная возможность п(АB) / п(А) с вероятностью условного события, п(АB) для большего, чем просто тривиальный выбор А, B, и п.

Построение алгебры

Дано множество Ω, которое является множеством возможных исходов, и множество F подмножеств Ω - так что F это множество возможных событий - рассмотрим бесконечное Декартово произведение формы E1 × E2 × … × Eп × Ω × Ω × Ω ×…, где E1, E2, … Eп являются членами F. Такой продукт определяет набор всех бесконечных последовательностей, первый элемент которых находится в E1, второй элемент которого находится в E2,…, И чья пth элемент находится в Eп, и все элементы которого лежат в Ω. Обратите внимание, что одним из таких продуктов является тот, в котором E1 = E2 = … = Eп = Ω, т.е. множество Ω × Ω × Ω × Ω ×…. Обозначьте этот набор как ; это множество всех бесконечных последовательностей, элементы которых лежат в Ω.

Теперь сформирована новая булева алгебра, элементы которой являются подмножествами . Начнем с того, что любое событие, которое ранее было представлено подмножеством А области Ω теперь представляется как = А × Ω × Ω × Ω ×….

Дополнительно, однако, для мероприятий А и B, пусть условное событие АB можно представить в виде следующего бесконечного объединения непересекающихся множеств:

[(АB) × Ω × Ω × Ω ×…] ∪
[А′ × (АB) × Ω × Ω × Ω ×…] ∪
[А′ × А ′ × (АB) × Ω × Ω × Ω ×…] ∪….

Мотивация такого представления условных событий будет вскоре объяснена. Обратите внимание, что конструкция может быть повторена; А и B сами могут быть условными событиями.

Интуитивно безусловное событие А должно быть представлено как условное событие Ω → А. И действительно: поскольку Ω ∩ А = А и Ω ′ = ∅, бесконечное объединение, представляющее Ω → А сводится к А × Ω × Ω × Ω ×….

Позволять теперь будет набором подмножеств , который содержит представления всех событий в F и в остальном достаточно большой, чтобы быть закрытым при конструировании условных событий и при знакомом Логические операции. является булевой алгеброй условных событий, которая содержит булеву алгебру, соответствующую алгебре обычных событий.

Определение расширенной функции вероятности

Новым логическим объектам, называемым условными событиями, соответствует новое определение функции вероятности, , основанный на стандарте функция вероятности п:

(E1 × E2 × … Eп × Ω × Ω × Ω ×…) = п(E1)⋅п(E2)⋅ … ⋅п(Eп)⋅п(Ω) ⋅п(Ω) ⋅п(Ω) ⋅… = п(E1)⋅п(E2)⋅ … ⋅п(Eп), поскольку п(Ω) = 1.

Из определения это () = п(А). Таким образом = п над областью п.

п(АB) = п(B|А)

Теперь приходит понимание, которое мотивирует всю предыдущую работу. За п, исходная функция вероятности, п(А′) = 1 – п(А), и поэтому п(B|А) = п(АB) / п(А) можно переписать как п(АB) / [1 – п(А′)]. Фактор 1 / [1 - п(А′)], Однако, в свою очередь, может быть представлена ​​его Расширение серии Маклорен, 1 + п(А′) + п(А′)2 …. Следовательно, п(B|А) = п(АB) + п(А′)п(АB) + п(А′)2п(АB) + ….

Правая часть уравнения - это в точности выражение для вероятности из АB, просто определенное как объединение тщательно выбранных непересекающихся множеств. Таким образом, это объединение можно рассматривать как представление условного события АB, так что (АB) = п(B|А) для любого выбора А, B, и п. Но с тех пор = п над областью п, обозначение шляпы необязательно. Пока понятен контекст (т.е. алгебра условных событий), можно написать п(АB) = п(B|А), с п теперь это расширенная функция вероятности.

Рекомендации

Бамбер, Дональд, И. Р. Гудман и Х. Т. Нгуен. 2004. «Вывод из условного знания». Мягкие вычисления 8: 247–255.

Гудман, И. Р., Р. П. С. Малер и Х. Т. Нгуен. 1999. «Что такое условная алгебра событий и почему вас это должно волновать?» Труды SPIE, Том 3720.