WikiDer > Алгебра Гудмана – Нгуена – ван Фраассена

А Алгебра Гудмана – Нгуена – ван Фраассена это тип условная алгебра событий (CEA), который включает стандарт Булева алгебра безусловных событий в более крупной алгебре, которая сама является булевой. Цель (как и для всех CEA) - приравнять условная возможность п(А ∩ B) / п(А) с вероятностью условного события, п(А → B) для большего, чем просто тривиальный выбор А, B, и п.

Построение алгебры

Дано множество Ω, которое является множеством возможных исходов, и множество F подмножеств Ω - так что F это множество возможных событий - рассмотрим бесконечное Декартово произведение формы E₁ × E₂ × … × E_п × Ω × Ω × Ω ×…, где E₁, E₂, … E_п являются членами F. Такой продукт определяет набор всех бесконечных последовательностей, первый элемент которых находится в E₁, второй элемент которого находится в E₂,…, И чья пth элемент находится в E_п, и все элементы которого лежат в Ω. Обратите внимание, что одним из таких продуктов является тот, в котором E₁ = E₂ = … = E_п = Ω, т.е. множество Ω × Ω × Ω × Ω ×…. Обозначьте этот набор как ${displaystyle {hat {Omega}}}$; это множество всех бесконечных последовательностей, элементы которых лежат в Ω.

Теперь сформирована новая булева алгебра, элементы которой являются подмножествами ${displaystyle {hat {Omega}}}$. Начнем с того, что любое событие, которое ранее было представлено подмножеством А области Ω теперь представляется как ${displaystyle {hat {A}}}$ = А × Ω × Ω × Ω ×….

Дополнительно, однако, для мероприятий А и B, пусть условное событие А → B можно представить в виде следующего бесконечного объединения непересекающихся множеств:

[(А ∩ B) × Ω × Ω × Ω ×…] ∪

[А′ × (А ∩ B) × Ω × Ω × Ω ×…] ∪

[А′ × А ′ × (А ∩ B) × Ω × Ω × Ω ×…] ∪….

Мотивация такого представления условных событий будет вскоре объяснена. Обратите внимание, что конструкция может быть повторена; А и B сами могут быть условными событиями.

Интуитивно безусловное событие А должно быть представлено как условное событие Ω → А. И действительно: поскольку Ω ∩ А = А и Ω ′ = ∅, бесконечное объединение, представляющее Ω → А сводится к А × Ω × Ω × Ω ×….

Позволять ${displaystyle {hat {F}}}$ теперь будет набором подмножеств ${displaystyle {hat {Omega}}}$, который содержит представления всех событий в F и в остальном достаточно большой, чтобы быть закрытым при конструировании условных событий и при знакомом Логические операции. ${displaystyle {hat {F}}}$ является булевой алгеброй условных событий, которая содержит булеву алгебру, соответствующую алгебре обычных событий.

Определение расширенной функции вероятности

Новым логическим объектам, называемым условными событиями, соответствует новое определение функции вероятности, ${displaystyle {hat {P}}}$, основанный на стандарте функция вероятности п:

${displaystyle {hat {P}}}$(E₁ × E₂ × … E_п × Ω × Ω × Ω ×…) = п(E₁)⋅п(E₂)⋅ … ⋅п(E_п)⋅п(Ω) ⋅п(Ω) ⋅п(Ω) ⋅… = п(E₁)⋅п(E₂)⋅ … ⋅п(E_п), поскольку п(Ω) = 1.

Из определения ${displaystyle {hat {P}}}$ это ${displaystyle {hat {P}}}$ (${displaystyle {hat {A}}}$) = п(А). Таким образом ${displaystyle {hat {P}}}$ = п над областью п.

п(А → B) = п(B|А)

Теперь приходит понимание, которое мотивирует всю предыдущую работу. За п, исходная функция вероятности, п(А′) = 1 – п(А), и поэтому п(B|А) = п(А ∩ B) / п(А) можно переписать как п(А ∩ B) / [1 – п(А′)]. Фактор 1 / [1 - п(А′)], Однако, в свою очередь, может быть представлена ​​его Расширение серии Маклорен, 1 + п(А′) + п(А′)² …. Следовательно, п(B|А) = п(А ∩ B) + п(А′)п(А ∩ B) + п(А′)²п(А ∩ B) + ….

Правая часть уравнения - это в точности выражение для вероятности ${displaystyle {hat {P}}}$ из А → B, просто определенное как объединение тщательно выбранных непересекающихся множеств. Таким образом, это объединение можно рассматривать как представление условного события А→ B, так что ${displaystyle {hat {P}}}$(А → B) = п(B|А) для любого выбора А, B, и п. Но с тех пор ${displaystyle {hat {P}}}$ = п над областью п, обозначение шляпы необязательно. Пока понятен контекст (т.е. алгебра условных событий), можно написать п(А → B) = п(B|А), с п теперь это расширенная функция вероятности.

Рекомендации

Бамбер, Дональд, И. Р. Гудман и Х. Т. Нгуен. 2004. «Вывод из условного знания». Мягкие вычисления 8: 247–255.

Гудман, И. Р., Р. П. С. Малер и Х. Т. Нгуен. 1999. «Что такое условная алгебра событий и почему вас это должно волновать?» Труды SPIE, Том 3720.