WikiDer > Наибольший элемент и наименьший элемент

Greatest element and least element

Диаграмма Хассе из набора п из делители из 60, частично заказана отношением "Икс разделяет у". Красное подмножество S = {1,2,3,4} имеет два максимальных элемента, а именно. 3 и 4, и один минимальный элемент, а именно. 1, который также является его наименьшим элементом.

В математика, особенно в теория порядка, то величайший элемент подмножества S из частично заказанный набор (poset) является элементом S это больше, чем любой другой элемент S. Период, термин наименьший элемент определено вдвойне, то есть это элемент S это меньше, чем любой другой элемент S.

Определение

Во всем пусть (п, ≤) быть частично заказанный набор и разреши S ⊆ п.

Определение: Элемент г подмножества S из п считается величайший элемент S если это удовлетворяет
s ≤ г, для всех s ∈ S.

Если S имеет наибольший элемент, то он обязательно уникален, поэтому мы можем говорить о то величайший элемент S.

Используя ≥ вместо того ≤ в приведенном выше определении определяется наименьший элемент S.

Контраст максимальных элементов, верхних границ и локальных / абсолютных максимумов

Наибольший элемент частично упорядоченного подмножества не следует путать с максимальные элементы набора, то есть элементы, которые не меньше любого другого элемента в наборе. В наборе может быть несколько максимальных элементов, но не самый большой. Подобно верхним границам и максимальным элементам, самые большие элементы могут не существовать.

Определения:
  1. Элемент м ∈ S считается максимальный элемент из S если есть не существуют любые s ∈ S такой, что м ≤ s и s ≠ м.
  2. An верхняя граница из S в п это элемент ты такой, что ты ∈ п и s ≤ ты для всех s ∈ S.

В частном случае, когда п = S, определение "ты является верхней границей S в S"становится: ты такой элемент, что ты ∈ S и s ≤ ты для всех s ∈ S, который полностью идентичный к определению наибольшего элемента, данному ранее. Таким образом г это величайший элемент S если и только если г является верхней границей S в S.

Если ты является верхней границей S в п это не верхняя граница S в S (что может произойти тогда и только тогда, когда ты ∉ S) тогда ты мочь не быть величайшим элементом S (однако возможно, что какой-то другой элемент является величайший элемент S). В частности, это возможно для S одновременно не иметь величайший элемент и для существования некоторой верхней границы S в п.

Даже если у набора есть некоторые верхние границы, у него не обязательно должен быть наибольший элемент, как показано на примере отрицательного действительные числа. Этот пример также демонстрирует, что существование наименьшая верхняя граница (число 0 в данном случае) также не означает существования наибольшего элемента.

В полностью заказанный набор максимальный элемент и самый большой элемент совпадают; и его еще называют максимум; в случае значений функций это также называется абсолютный максимум, чтобы избежать путаницы с локальный максимум.[1] Двойные условия минимум и абсолютный минимум. Вместе они называются абсолютные экстремумы.

Аналогичные выводы справедливы для наименьшего количества элементов.

Свойства

Во всем пусть (п, ≤) быть частично заказанный набор и разреши S ⊆ п.

  • Множество S может иметь самое большее один величайший элемент.[примечание 1] Таким образом, если набор имеет наибольший элемент, он обязательно уникален.
  • Если он существует, то наибольший элемент S является верхняя граница из S что также содержится в S.
  • Если г это величайший элемент S тогда г также является максимальным элементом S[заметка 2] и, более того, любой другой максимальный элемент S обязательно будет равно г.[заметка 3]
    • Таким образом, если набор S имеет несколько максимальных элементов, тогда у него не может быть самого большого элемента.
  • Если п удовлетворяет условие возрастающей цепи, подмножество S из п имеет величайший элемент если и только если, он имеет один максимальный элемент.[примечание 4]
  • Когда ограничение ≤ к S это общий заказ (S = { 1, 2, 4  } на самом верхнем рисунке пример), то понятия максимального элемента и максимального элемента совпадают.[примечание 5]
    • Однако это не является обязательным условием всякий раз, когда S имеет наибольший элемент, понятия совпадают, как было сказано выше.
  • Если понятия максимального элемента и наибольшего элемента совпадают на каждом двухэлементном подмножестве S из п, тогда ≤ это полный заказ на п.[примечание 6]

Достаточные условия

  • Конечная цепь всегда есть наибольший и наименьший элемент.

Верх и низ

Наименьший и наибольший элементы всего частично упорядоченного множества играет особую роль и также называется дно и верх, или нуль (0) и единица измерения (1) или ⊥ и ⊤ соответственно. Если оба существуют, ЧУМ называется ограниченный позет. Обозначения 0 и 1 используются предпочтительно, когда poset даже дополненная решетка, и когда не возникает путаницы, т.е. когда речь не идет о частичных порядках чисел, которые уже содержат элементы 0 и 1, отличные от нижнего и верхнего. Существование наименьшего и наибольшего элементов - особый свойство полноты частичного заказа.

Дополнительную вводную информацию можно найти в статье о теория порядка.

Примеры

Диаграмма Хассе примера 2
  • Подмножество целые числа не имеет верхней границы в наборе ℝ из действительные числа.
  • Пусть отношение ≤ на { а, б, c, d  } дается а ≤ c, а ≤ d, б ≤ c, б ≤ d. Набор { а, б  } имеет верхнюю границу c и d, но без наименьшей верхней границы и без наибольшего элемента (см. рисунок).
  • в рациональное число, набор чисел с квадратом меньше 2 имеет верхнюю границу, но не имеет наибольшего элемента и наименьшей верхней границы.
  • В ℝ, набор чисел меньше 1 имеет наименьшую верхнюю границу, а именно. 1, но не самый большой элемент.
  • В ℝ, набор чисел, меньших или равных 1, имеет наибольший элемент, а именно. 1, что также является его точной верхней границей.
  • В ℝ² с заказ продукта, множество пар (Икс, у) с участием 0 < Икс < 1 не имеет верхней границы.
  • В ℝ² с лексикографический порядок, этот набор имеет верхнюю границу, например (1, 0). У него нет минимальной верхней границы.

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Если г1 и г2 оба величайшие, тогда г1 ≤ г2 и г2 ≤ г1, и, следовательно г1 = г2 от антисимметрия.
  2. ^ Если г это величайший элемент S и s ∈ S, тогда s ≤ г. От антисимметрия, это отображает (г ≤ s и г ≠ s) невозможно.
  3. ^ Если м ' - максимальный элемент, то м ' ≤ г поскольку г самый большой, следовательно м ' = г поскольку м ' максимально.
  4. ^ Только если: см. выше. - Если: Предположим от противного, что S имеет только один максимальный элемент, м, но не величайший элемент. поскольку м не самый лучший, некоторые s1 ∈ S должно существовать то, что несравнимо с м. Следовательно s1 ∈ S не может быть максимальным, то есть s1 < s2 должен держаться за некоторые s2 ∈ S. Последнее должно быть несравнимо с мтоже, так как м < s2 противоречит ммаксимальность в то время как s2 ≤ м противоречит несравнимости м и s1. Повторяя этот аргумент, бесконечная восходящая цепочка s1 < s2 < ⋅⋅⋅ < sп < ⋅⋅⋅ можно найти (так что каждый sя несравнимо с м и не максимальный). Это противоречит условию возрастающей цепи.
  5. ^ Позволять м ∈ S быть максимальным элементом для любого s ∈ S либо s ≤ м или м ≤ s. Во втором случае определение максимального элемента требует, чтобы м = s, поэтому s ≤ м. Другими словами, м это величайший элемент.
  6. ^ Если а, б ∈ п были несравненными, тогда S = { а, б  } будет иметь два максимальных, но не самых больших элемента, что противоречит совпадению.

использованная литература

  1. ^ Понятие локальности требует, чтобы область определения функции была как минимум топологическое пространство.
  • Davey, B.A .; Пристли, Х.А. (2002). Введение в решетки и порядок (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78451-1.