WikiDer > Формализм HPO

В Оператор проекции истории (HPO) формализм - это подход к временный квантовая логика разработан Крис Ишем. Он имеет дело с логической структурой квантово-механический предложения утверждалось в разные моменты времени.

Введение

В стандартной квантовой механике физическая система связана с Гильбертово пространство ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Состояния системы в фиксированное время представлены нормализованными векторами в пространстве и физическими наблюдаемые представлены Эрмитовы операторы на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$.

Физическое предложение ${ displaystyle , P}$ о системе в фиксированное время может быть представлено оператор проекции ${ displaystyle { hat {P}}}$ на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ (Видеть квантовая логика). Это представление связывает воедино решетка операции в решетке логических предложений и решетке операторов проектирования в гильбертовом пространстве (см. квантовая логика).

Формализм HPO является естественным расширением этих идей для предложений о системе, которые касаются более чем одного раза.

Предложения по истории

Однородные истории

А предложение однородной истории ${ displaystyle , alpha}$ представляет собой последовательность одноразовых предложений ${ Displaystyle альфа _ {т_ {я}}}$ указано в разное время ${ Displaystyle т_ {1} <т_ {2} < ldots <т_ {п}}$. Эти времена называются временная поддержка истории. Обозначим предложение ${ Displaystyle , альфа}$ так как ${ Displaystyle ( альфа _ {1}, альфа _ {2}, ldots, альфа _ {п})}$ и прочтите это как

"${ Displaystyle альфа _ {т_ {1}}}$ вовремя ${ displaystyle t_ {1}}$ верно, а затем ${ Displaystyle альфа _ {т_ {2}}}$ вовремя ${ displaystyle t_ {2}}$ верно, а затем ${ displaystyle ldots}$ а потом ${ Displaystyle альфа _ {т_ {п}}}$ вовремя ${ displaystyle t_ {n}}$ правда"

Неоднородные истории

Не все исторические суждения могут быть представлены последовательностью одноразовых суждений в разные времена. Они называются неоднородные исторические предложения. Примером может служить предложение ${ displaystyle , alpha}$ ИЛИ ${ displaystyle , beta}$ для двух однородных историй ${ Displaystyle , альфа, бета}$.

Операторы проекции истории

Ключевое наблюдение формализма HPO - представление исторических предложений операторами проекции на история гильбертова пространства. Отсюда и название «Оператор проекции истории» (HPO).

За однородную историю ${ Displaystyle альфа = ( альфа _ {1}, альфа _ {2}, ldots, альфа _ {п})}$ мы можем использовать тензорное произведение определить проектор

${ displaystyle { hat { alpha}}: = { hat { alpha}} _ {t_ {1}} otimes { hat { alpha}} _ {t_ {2}} otimes ldots время от времени { hat { alpha}} _ {t_ {n}}}$

где ${ displaystyle { hat { alpha}} _ {t_ {i}}}$ оператор проекции на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ что представляет собой предложение ${ Displaystyle альфа _ {т_ {я}}}$ вовремя ${ displaystyle t_ {i}}$.

Эта ${ displaystyle { hat { alpha}}}$ является проекционным оператором на тензорное произведение «история гильбертова пространства» ${ displaystyle H = { mathcal {H}} otimes { mathcal {H}} otimes ldots otimes { mathcal {H}}}$

Не все операторы проекции на ${ displaystyle H}$ можно записать в виде суммы тензорных произведений вида ${ displaystyle { hat { alpha}}}$. Эти другие операторы проекции используются для представления неоднородных историй путем применения решеточных операций к однородным историям.

Временная квантовая логика

Представление предложений истории проекторами на гильбертово пространство истории естественным образом кодирует логическую структуру предложений истории. В решетка операции над множеством проекционных операций на историческом гильбертовом пространстве ${ displaystyle H}$ может применяться для моделирования решетки логических операций с историческими предложениями.

Если две однородные истории ${ Displaystyle , альфа}$ и ${ displaystyle , beta}$ не имеют той же временной поддержки, которую они могут изменить так, чтобы это было. Если ${ Displaystyle , т_ {я}}$ находится во временной поддержке ${ Displaystyle , альфа}$ но нет ${ displaystyle , beta}$ (например) тогда новое утверждение однородной истории, которое отличается от ${ displaystyle , beta}$ путем включения предложения "всегда верно" каждый раз ${ Displaystyle , т_ {я}}$ может быть сформирован. Таким образом, временные опоры ${ Displaystyle , альфа, бета}$ всегда можно соединить вместе. Что, следовательно, должно предполагать, что все однородные истории имеют одну и ту же временную опору?

Теперь мы представляем логические операции для однородных исторических предложений. ${ displaystyle , alpha}$ и ${ displaystyle , beta}$ такой, что ${ displaystyle { hat { alpha}} { hat { beta}} = { hat { beta}} { hat { alpha}}}$

Соединение (И)

Если ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ две однородные истории, то историческое предложение "${ Displaystyle , альфа}$ и ${ displaystyle , beta}$"также является однородной историей. Она представлена ​​оператором проекции

${ displaystyle { widehat { alpha wedge beta}}: = { hat { alpha}} { hat { beta}}}$ ${ Displaystyle (= { шляпа { бета}} { шляпа { альфа}})}$

Дизъюнкция (ИЛИ)

Если ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ две однородные истории, то предложение истории "${ Displaystyle , альфа}$ или ${ displaystyle , beta}$"в целом не является однородной историей. Она представлена ​​оператором проекции

${ displaystyle { widehat { alpha vee beta}}: = { hat { alpha}} + { hat { beta}} - { hat { alpha}} { hat { beta} }}$

Отрицание (НЕ)

Операция отрицания в решетке проекционных операторов принимает ${ displaystyle { hat {P}}}$ к

${ displaystyle neg { hat {P}}: = mathbb {I} - { hat {P}}}$

где ${ displaystyle mathbb {I}}$ это оператор идентификации на гильбертовом пространстве. Таким образом, проектор, используемый для представления предложения ${ displaystyle neg alpha}$ (т.е. "не ${ displaystyle alpha}$") является

${ displaystyle { widehat { neg alpha}}: = mathbb {I} - { hat { alpha}}}$

где ${ displaystyle mathbb {I}}$ является тождественным оператором в гильбертовом пространстве истории.

Пример: двукратная история

В качестве примера рассмотрим отрицание предложения двукратной однородной истории. ${ Displaystyle , альфа = ( альфа _ {1}, альфа _ {2})}$. Проектор для представления предложения ${ displaystyle neg alpha}$ является

${ displaystyle { widehat { neg alpha}} = mathbb {I} otimes mathbb {I} - { hat { alpha}} _ {1} otimes { hat { alpha}} _ {2}}$${ displaystyle = ( mathbb {I} - { hat { alpha}} _ {1}) otimes { hat { alpha}} _ {2} + { hat { alpha}} _ {1 } otimes ( mathbb {I} - { hat { alpha}} _ {2}) + ( mathbb {I} - { hat { alpha}} _ {1}) otimes ( mathbb { I} - { hat { alpha}} _ {2})}$

Термины, которые встречаются в этом выражении:

• ${ displaystyle ( mathbb {I} - { hat { alpha}} _ {1}) otimes { hat { alpha}} _ {2}}$
• ${ displaystyle { hat { alpha}} _ {1} otimes ( mathbb {I} - { hat { alpha}} _ {2})}$
• ${ displaystyle ( mathbb {I} - { hat { alpha}} _ {1}) otimes ( mathbb {I} - { hat { alpha}} _ {2})}$.

Каждый можно интерпретировать следующим образом:

• ${ Displaystyle , альфа _ {1}}$ ложно и ${ Displaystyle , альфа _ {2}}$ правда
• ${ displaystyle , alpha _ {1}}$ правда и ${ displaystyle , alpha _ {2}}$ ложно
• и то и другое ${ displaystyle , alpha _ {1}}$ ложно и ${ Displaystyle , альфа _ {2}}$ ложно

Эти три однородные истории, объединенные операцией ИЛИ, включают в себя все возможности того, как утверждение "${ Displaystyle , альфа _ {1}}$ а потом ${ displaystyle , alpha _ {2}}$"может быть ложным. Таким образом, мы видим, что определение ${ displaystyle { widehat { neg alpha}}}$ согласен с тем, что предложение ${ displaystyle neg alpha}$ должно означать.

использованная литература

• Си Джей Ишам, Квантовая логика и исторический подход к квантовой теории, J. Math. Phys. 35 (1994) 2157-2185, arXiv: gr-qc / 9308006v1