WikiDer > Неравенство Хадвигера – Финслера

Hadwiger–Finsler inequality

В математика, то Неравенство Хадвигера – Финслера это результат на геометрия из треугольники в Евклидова плоскость. В нем говорится, что если треугольник на плоскости имеет длину сторон а, б и c и площадь Т, тогда

{displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} geq (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ca) ^ {2} +4 {sqrt {3} } Tquad {mbox {(HF)}}.}

Связанные неравенства

Неравенство Вайтценбека это простой следствие неравенства Хадвигера – Финслера: если треугольник на плоскости имеет длины сторон а, б и c и площадь Т, тогда

{displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} geq 4 {sqrt {3}} Tquad {mbox {(W)}}.}

Неравенство Вайтценбека также можно доказать, используя Формула Герона, по которому видно, что в (W) выполняется равенство если и только если треугольник - это равносторонний треугольник, т.е. а = б = c.

Версия для четырехугольник: Позволять ABCD - выпуклый четырехугольник с длинами а, б, c, d и область Т тогда:^[1]

{displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} geq 4T + {frac {{sqrt {3}} - 1} {sqrt {3}}} sum {(ab ) ^ {2}}}

с равенством только для квадрат.

Где ${displaystyle sum {(ab) ^ {2}} = (ab) ^ {2} + (ac) ^ {2} + (ad) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (bd) ^ { 2} + (cd) ^ {2}}$

Неравенство Хадвигера – Финслера названо в честь Пол Финслер и Хьюго Хадвигер (1937), который также опубликовал в той же газете Теорема Финслера – Хадвигера на квадрате, полученном из двух других квадратов, имеющих общую вершину.