WikiDer > Залы универсальной группы - Википедия

В алгебра, Универсальная группа Холла исчисляемый локально конечная группа, сказать U, который однозначно характеризуется следующими свойствами.

• Каждая конечная группа грамм признает мономорфизм к U.
• Все такие мономорфизмы сопряжены соотношением внутренние автоморфизмы из U.

Это было определено Филип Холл в 1959 г.,^[1] и обладает универсальным свойством все счетные локально конечные группы встроить в него.

Строительство

Взять любую группу ${ displaystyle Gamma _ {0}}$ порядка ${ displaystyle geq 3}$. Обозначим через ${ displaystyle Gamma _ {1}}$ группа ${ displaystyle S _ { Gamma _ {0}}}$из перестановки элементов ${ displaystyle Gamma _ {0}}$, к${ displaystyle Gamma _ {2}}$ группа

${ Displaystyle S _ { Gamma _ {1}} = S_ {S _ { Gamma _ {0}}} ,}$

и так далее. Поскольку группа действует точно сама на себя перестановками

${ Displaystyle х mapsto gx ,}$

в соответствии с Теорема Кэли, это дает цепочку мономорфизмов

${ displaystyle Gamma _ {0} hookrightarrow Gamma _ {1} hookrightarrow Gamma _ {2} hookrightarrow cdots. ,}$

А прямой предел (то есть объединение) всех ${ displaystyle Gamma _ {i}}$универсальная группа Холла U.

В самом деле, U затем содержит симметричная группа сколь угодно большого порядка, и любая группа допускает мономорфизм в группа перестановок, как объяснено выше. грамм - конечная группа, допускающая два вложения в U.С U это прямой предел и грамм конечно, образы этих двух вложений принадлежат ${ displaystyle Gamma _ {i} subset U}$. Группа ${ Displaystyle Gamma _ {я + 1} = S _ { Gamma _ {я}}}$ действует на ${ displaystyle Gamma _ {i}}$перестановками и сопрягает все возможные вложения${ Displaystyle G hookrightarrow U}$.

Рекомендации