WikiDer > Теорема Холла – Хигмана.

В математический теория групп, то Теорема Холла – Хигмана., из-за Филип Холл и Грэм Хигман (1956, Теорема B), описывает возможности минимального многочлена элемента порядка степени простого числа для представления п-разрешимая группа.

Заявление

Предположим, что грамм это п-разрешимая группа без нормального п-подгруппы, точно действующие в векторном пространстве над полем характеристики п. Если Икс это элемент порядка п^п из грамм то минимальный многочлен имеет вид (Икс − 1)^р для некоторых р ≤ п^п. Теорема Холла – Хигмана утверждает, что имеет место одна из следующих трех возможностей:

• р = п^п
• п является простым числом Ферма, а силовские 2-подгруппы в грамм неабелевы и р ≥ п^п −п^п−1
• п = 2 и силовский q-подгруппы грамм неабелевы для некоторого простого числа Мерсенна q = 2^м - 1 меньше 2^п и р ≥ 2^п − 2^п−м.

Примеры

Группа SL₂(F₃) является 3-разрешимой (фактически разрешимой) и имеет очевидное двумерное представление над полем характеристики п= 3, в котором элементы порядка 3 имеют минимальный многочлен (Икс−1)² с р=3−1.

Рекомендации

• Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0301-6, МИСТЕР 0569209
• Холл, П .; Хигман, Грэм (1956), "О p-длине p-разрешимых групп и теоремах редукции для проблемы Бернсайда", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 6: 1–42, Дои:10.1112 / плмс / с3-6.1.1, МИСТЕР 0072872