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Es Hamilton-Formalismus ist eine Neuformulierung des klassische Mechanik das in 1833 bis zum irisch Mathematiker William Rowan Hamilton wurde vorbereitet.

Hamilton-Formalismus entstand aus dem Larangsche Mechanik, eine frühere Neuformulierung des klassische Mechanik, die 1788 von . eingeführt wurde Joseph-Louis Lagrange. Weil der Hamilton-Formalismus verwendet symplektische Räume es kann formuliert werden, ohne auf die Lagrange-Mechanik zurückzugreifen. Ein wichtiger Unterschied zwischen dem Hamilton-Formalismus und der Lagrange-Methode besteht darin, dass für ein System mit ${displaystyle n}$Freiheitsgrade die Lagrange-Methode formuliert differentielle Nebenbedingungen zweiter Ordnung für a ${displaystyle n}$-dimensional Koordinatenraum (oder Konfigurationsraum) und die Beschränkungen des Hamilton-Formalismus erster Ordnung auf a ${Displaystil 2n}$-dimensional Phasenraum^[1]

Neben der theoretischen Bedeutung für die klassische Mechanik Der Hamilton-Formalismus war maßgeblich an der Entwicklung des Quantenmechanik. Darüber hinaus gibt es auch die Hamiltonsche Optik, die eine Analogie zu dreidimensionalen Bahnen von Punktmasse's und der Verlauf von Lichtstrahlen in dem geometrische Optik.

Die für diesen Formalismus definierte Menge dit hamiltonisch${Anzeigestil H}$ ist in vielen Fällen gleich der Gesamtenergie ${Displaystil-Fernseher}$, während lagrange gleich ${Display-Stil TV}$ (in welchem ${Anzeigestil T}$ das kinetische Energie und ${Anzeigestil V}$ das potenzielle Energie ist). Der Hamilton-Formalismus hat sich besonders in Mechanismensystemen bewährt, in denen ${Anzeigestil H}$ explizit zeitunabhängig.

Ableitung vom Lagrange-Formalismus

Angenommen, wir haben ein mechanisches System, das durch den Lagrange-Formalismus beschrieben wird. Der Zustand eines zeitabhängigen Systems mit ${displaystyle n}$Freiheitsgrade ist mit einem Paar gefangen verallgemeinerte Koordinaten${displaystyle q_{1},q_{2},ldots ,q_{n}}$ die definitionsgemäß voneinander unabhängig sind, und ihre zugehörigen verallgemeinerten Geschwindigkeiten ${displaystyle {dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},ldots ,{dot {q}}_{n}}$, die ebenfalls voneinander unabhängig sind und von den Positionskoordinaten. (Zeitableitungen von diesem und anderen physikalische Quantitäten werden in konventioneller Schreibweise mit einem Punkt über dem Symbol anstelle des Differentialoperators angezeigt ${displaystyle mathrm {d} /mathrm {d} t}$ wenn das die Übersichtlichkeit verbessert.)

Das Verhalten des Systems wird beschrieben durch die Euler-Lagrange-Gleichungen:

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}left({frac {partial L}{partial {dot {q}}_{i}}}ight)-{frac {partial L}{ partielles q_{i}}}=0quad (i=1,2,ldots,n)}$ (ich)

Darin ist ${displaystyle L(q_{1},ldots ,q_{n},{dot {q}}_{1},ldots ,{dot {q}}_{n},t)}$ das lagrange vom System.

Jetzt die hamiltonisch oder Hamilton-Funktion eingeführt, die Legendre Transformation zu ${displaystyle {dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},ldots ,{dot {q}}_{n}}$ ist vom Larangian. Dies ist der erste Schritt einer Standardmethode zur Umwandlung eines DV zweiter Ordnung in ein System von zwei DVs erster Ordnung, was auch die Absicht des Hamilton-Formalismus ist:

${displaystyle H=sum _{i=1}^{n}{dot {q}}_{i}{frac {partial L}{partial {dot {q}}_{i}}}-L}$

Nun für jede verallgemeinerte Koordinate ${displaystyle q_{i}}$ die entsprechende generalisierter Impuls eingeführt:

${displaystyle p_{i}={frac {partial L}{partial {dot {q}}_{i}}}}$ (ii)

Die Euler-Lagrange-Gleichungen können somit umgeschrieben werden als:

${displaystyle {dot {p}}_{i}={frac {partial L}{partial q_{i}}}quad (i=1,2,ldots,n)}$ (iii)

Mit der Definition von ${displaystyle p_{i}}$ (ii) ein erster Schritt zur Definition des Hamilton-Operators, der nur von abhängt ${displaystyle q_{i}}$ und ${displaystyle p_{i}}$:

${displaystyle H(q_{1},ldots,q_{n},p_{1},ldots,p_{n},t)=sum _{i=1}^{n}{dot {q}}_{ i}p_{i}-L(q_{1},ldots ,q_{n},{dot {q}}_{1},ldots ,{dot {q}}_{n},t)}$,

von denen die Abhängigkeit von ${displaystyle {Punkt {q}}_{i}}$ muss noch beseitigt werden.
Es wird dann davon ausgegangen, dass die Gesamtdifferenz aus dieser Version des Hamiltonian:

${displaystyle mathrm {d} H=sum _{i=1}^{n}mathrm {d} ({dot {q}}_{i}p_{i})-mathrm {d} L}$

Darin ist die Produktreihe auf den Begriff angewendet ${displaystyle {Punkt {q}}_{i}p_{i}}$ und wird zum totalen Differential für ${displaystyle L(q_{1},ldots ,q_{n},{dot {q}}_{1},ldots ,{dot {q}}_{n},t)}$ Abgemeldet:

${displaystyle mathrm {d} H=sum _{i=1}^{n}left(p_{i},mathrm {d} {dot {q}}_{i} {dot {q}}_{i} ,mathrm {d} p_{i}-{frac {partial L}{partial q_{i}}},mathrm {d} q_{i}-{frac {partial L}{partial {dot {q}}_{ i}}},mathrm {d} {dot {q}}_{i}ight)-{frac {partial L}{partial t}},mathrm {d} t}$

Aus diesem Ausdruck ergibt sich das Differential von und die Ableitung nach ${displaystyle {Punkt {q}}_{i}}$ eliminiert durch Verwendung der Definition von ${displaystyle p_{i}}$ (ii) und aus der umgeschriebenen Version der Euler-Lagrange-Gleichungen (iii):

${displaystyle mathrm {d} H=sum _{i=1}^{n}left({dot {q}}_{i},mathrm {d} p_{i}-{dot {p}}_{i },mathrm {d} q_{i}ight)-{frac {partial L}{partial t}},mathrm {d} t}$ (iv)

${displaystyle mathrm{d}H}$ wird nun in Differentialen von ausgedrückt ${displaystyle q_{i}}$, ${displaystyle p_{i}}$ und ${displaystyle t}$. weil ${displaystyle {Punkt {q}}_{i}}$ kann als Funktion von verstanden werden ${displaystyle p_{i}}$, ist ${Anzeigestil H}$ jetzt ganz abhängig von ${displaystyle q_{i}, p_{i}}$ und ${displaystyle t}$.

Da verallgemeinerter Ort und Impuls für verschiedene Freiheitsgrade i unabhängig voneinander sind, ist die Allgemeines Definition des Gesamtdifferentials von ${Anzeigestil H}$ als Funktion von ${Anzeigestil p, q}$ und ${displaystyle t}$:

${displaystyle mathrm {d} H=sum _{i=1}^{n}left({frac {partial H}{partial p_{i}}},mathrm {d} p_{i} {frac {partial H} {partial q_{i}}},mathrm {d} q_{i}ight) {frac {partial H}{partial t}},mathrm {d} t}$

die Koeffizienten der Differentiale ${displaystyle mathrm {d} p, mathrm {d} q}$ und ${displaystyle mathrm {d} t}$ für jeden Freiheitsgrad ${Anzeigestil i}$ getrennt mit dem des gerade abgeleiteten Ausdrucks (iv) gleichgesetzt werden für ${displaystyle mathrm{d}H}$. Aus diesen Gleichungen folgt dann die Hamiltons Gleichungen, auch genannt kanonische Bewegungsgleichungen genannt:

${displaystyle {dot {q}}_{i}={frac {partial H}{partial p_{i}}},qquad {dot {p}}_{i}=-{frac {partial H}{partial q_ {i}}}qquad (i=1,2,ldots,n)}$;

und die zeitliche Ableitung von ${Anzeigestil H}$ selbst ist gleich

${displaystyle {frac {partial H}{partial t}}=-{frac {partial L}{partial t}}}$

In einem konservativen System, in dem keine kinetische oder potentielle Energie durch Reibung verloren geht,

${displaystyle {frac {partial H}{partial t}}=0}$

In diesem Fall ${Anzeigestil H}$ und ${Anzeigestil L}$ Bewegungskonstanten des Systems Der mit verallgemeinerten Ortskoordinaten und Impulskoordinaten beschriebene Raum wird zu a Phasenraum erwähnt, die unter anderem in der Statistische Mechanik spielt eine zentrale Rolle. Der Unterraum mit nur Impulskoordinaten, die nur den Bewegungszustand eines Systems beschreiben, wird Impulsraum genannt.

Verallgemeinerung

Das symplektische Geometrie Studien symplektische Sorten, das sind Räume, gekrümmt oder ungekrümmt, in denen die Bewegungsgleichungen in der geometrischen Struktur enthalten sind. Die Koordinaten in der Nähe eines Punktes eines solchen Raumes sind eine Kombination der Ortskoordinaten ${displaystyle q_{i}}$ und die Impulskoordinaten ${displaystyle p_{i}}$.

Siehe auch

• Gifthaken

Literatur

• (und) Corben, H. C. und Philip Stehlea (1994): Klassische Mechanik, 2. Auflage, Dover Publications, New York, Kapitel 10.

Fußnoten