WikiDer > Теорема Харнакса о кривой - Википедия

В эллиптическая кривая (гладкая степень 3) слева - это M-кривая, так как она имеет максимальные (2) компоненты, а кривая справа имеет только 1 компонент.

В настоящий алгебраическая геометрия, Теорема Гарнака о кривой, названный в честь Аксель Харнак, дает возможное количество связанные компоненты что алгебраическая кривая может иметь в терминах степени кривой. Для любого алгебраическая кривая степени м в реальном проективная плоскость, количество компонентов c ограничен

${ displaystyle { frac {1 - (- 1) ^ {m}} {2}} leq c leq { frac {(m-1) (m-2)} {2}} + 1. }$

Максимальное количество на единицу больше максимального род кривой степени м, достигается, когда кривая неособая. Более того, может быть достигнуто любое количество компонентов в этом диапазоне возможных значений.

В Кривая Тротта, показанная здесь с 7 своими битангенсами, представляет собой М-кривую четвертой степени (степени 4), достигая максимальных (4) компонентов для кривой этой степени.

Кривая, которая достигает максимального числа реальных компонентов, называетсяМ-кривая (от «максимум») - например, эллиптическая кривая с двумя компонентами, такими как ${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x,}$ или Кривая Тротта, квартика с четырьмя компонентами, являются примерами M-кривых.

Эта теорема легла в основу Шестнадцатая проблема Гильберта.

В недавнем развитии Кривая Гарнака показана как кривая, амеба имеет площадь равную Многоугольник Ньютона полинома P, который называется характеристической кривой димерных моделей, а каждая кривая Гарнака является спектральной кривой некоторого модель димера.(Михалкин 2001)(Кеньон, Окуньков и Шеффилд (2006))

Рекомендации

• Дмитрий Андреевич Гудков, Топология вещественных проективных алгебраических многообразий, Успехи матем. Наук, 29 (1974), 3–79, англ. Обзоры 29: 4 (1974), 1–79
• Карл Густав Аксель Харнак, Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, Математика. Анна. 10 (1876), 189–199
• Джордж Уилсон, Шестнадцатая проблема Гильберта, Топология 17 (1978), 53–74
• Кеньон, Ричард; Окуньков Андрей; Шеффилд, Скотт (2006). «Димеры и амебы». Анналы математики. 163 (3): 1019–1056. arXiv:math-ph / 0311005. Дои:10.4007 / анналы.2006.163.1019. МИСТЕР 2215138.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Михалкин, Григорий (2001), Амебы алгебраических многообразий, arXiv:математика / 0108225, МИСТЕР 2102998