WikiDer > Теорема Хассе – Минковского

Hasse–Minkowski theorem
2-адические целые числа. Отображение всех 2-адических рациональных чисел будет включать бесконечную последовательность сгустков, движущихся слева от рисунка.
Реальная числовая линия
Два завершение рациональных чисел, диадические числа (здесь показаны только диадические целые числа) и действительные числа. Теорема Хассе-Минковского устанавливает связь между квадратичные формы в числовое поле и в дополнениях числового поля.

В Теорема Хассе – Минковского фундаментальный результат в теория чисел в котором говорится, что два квадратичные формы через числовое поле эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны локально во всех местах, т.е. эквивалентны по каждому завершение поля (который может быть настоящий, сложный, или же p-адический). Связанный результат состоит в том, что квадратичное пространство над числовым полем изотропный тогда и только тогда, когда она изотропна локально всюду, или, что то же самое, квадратичная форма над числовым полем нетривиально представляет нуль тогда и только тогда, когда это верно для всех пополнений поля. Теорема доказана в случае поля рациональное число к Герман Минковски и обобщены на числовые поля Хельмут Хассе. То же самое утверждение справедливо даже для всех глобальные поля.

Важность

Важность теоремы Хассе – Минковского заключается в новой парадигме, которую она представила для ответа на арифметические вопросы: чтобы определить, имеет ли уравнение определенного типа решение в рациональных числах, достаточно проверить, есть ли у него решения над полными полями. реальных и п-адические числа, где аналитические соображения, такие как Метод Ньютона и это п-адический аналог, Лемма Гензеля, подать заявление. Это воплощено в идее локально-глобальный принцип, который является одним из самых фундаментальных методов в арифметическая геометрия.

Приложение к классификации квадратичных форм

Теорема Хассе – Минковского сводит проблему классификации квадратичных форм над числовым полем. K с точностью до эквивалентности множеству аналогичных, но гораздо более простых вопросов по местные поля. Основными инвариантами неособой квадратичной формы являются ее измерение, которое является положительным целым числом, и его дискриминант по модулю квадратов в K, который является элементом мультипликативной группы K*/K*2. Кроме того, для каждого место v из K, есть инвариант, исходящий из завершения Kv. В зависимости от выбора v, это завершение может быть действительные числа р, то сложные числа C, или p-адическое число поле, каждое из которых имеет разные виды инвариантов:

  • В случае если р. К Закон инерции Сильвестра, подпись (или, наоборот, отрицательный показатель инерции) является полным инвариантом.
  • В случае если C. Все неособые квадратичные формы одной размерности эквивалентны.
  • В случае если Qп и это алгебраические расширения. Формы одного размера классифицируются до эквивалентности по их Инвариант Хассе.

Эти инварианты должны удовлетворять некоторым условиям совместимости: отношению четности (знак дискриминанта должен соответствовать отрицательному индексу инерции) и формуле произведения (отношение локально-глобальное). Наоборот, для каждого набора инвариантов, удовлетворяющих этим соотношениям, существует квадратичная форма над K с этими инвариантами.

Рекомендации

  • Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм. Кембриджские трактаты по математике. 106. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021.
  • Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики. Тексты для выпускников по математике. 7. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001.