WikiDer > Голономная основа - Википедия

В математика и математическая физика, а координатная база или же голономный базис для дифференцируемое многообразие M это набор основа векторные поля {е₁, ..., е_п} определяется в каждой точке п из область, край многообразия как

${ displaystyle mathbf {e} _ { alpha} = lim _ { delta x ^ { alpha} to 0} { frac { delta mathbf {s}} { delta x ^ { alpha }}},}$

куда δs - бесконечно малый вектор смещения между точкой п и ближайшая точкаQ чьи координаты отделены от п является δx^α вдоль координатной кривой Икс^α (т.е. кривая на многообразии через п для чего местная координата Икс^α меняется, а все остальные координаты постоянны).^[1]

Можно установить связь между таким базисом и операторами производной по направлению. Учитывая параметризованную кривую C на многообразии, определяемом Икс^α(λ) с касательным вектором ты = ты^αе_α, куда ты^α = dx^α/dλ, а функция ж(Икс^α) определен в окрестности C, вариация ж вдоль C можно записать как

${ displaystyle { frac {df} {d lambda}} = { frac {dx ^ { alpha}} {d lambda}} { frac { partial f} { partial x ^ { alpha} }} = u ^ { alpha} { frac { partial} { partial x ^ { alpha}}} f.}$

Поскольку у нас есть это ты = ты^αе_α, идентификация часто производится между базисным вектором координат е_α и оператор частной производной ∂/∂Икс^α, при интерпретации векторов как операторов, действующих на скалярные величины.^[2]

Местное состояние за основу {е₁, ..., е_п} быть голономным - значит все взаимное Производные Ли исчезнуть:^[3]

${ displaystyle left [ mathbf {e} _ { alpha}, mathbf {e} _ { beta} right] = { mathcal {L}} _ { mathbf {e} _ { alpha} } mathbf {e} _ { beta} = 0.}$

Базис, не являющийся голономным, называется неголономным или некоординатным.

Учитывая метрический тензор грамм на коллекторе M, в общем случае невозможно найти координатный базис, ортонормированный в любой открытой области U из M.^[4] Очевидное исключение - когда M это настоящий координатное пространство р^п рассматривается как многообразие с грамм евклидова метрика δ_ijе^я ⊗ е^j в каждой точке.

Рекомендации

Смотрите также

• Жиклерный пучок
• Тетрадный формализм
• Исчисление Риччи

Этот связанные с дифференциальной геометрией статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это. v т е