WikiDer > Поверхность хопфа

Hopf surface

В сложная геометрия, а Поверхность хопфа - компактная комплексная поверхность, полученная как фактор комплекса векторное пространство (с удаленным нулем) по свободное действие дискретной группы. Если эта группа представляет собой целые числа, поверхность Хопфа называется начальный, иначе он называется вторичный. (Некоторые авторы используют термин «поверхность Хопфа» для обозначения «первичной поверхности Хопфа».) Первый пример был обнаружен Хайнц Хопф (1948) с дискретной группой, изоморфной целым числам, с генератором, действующим на умножением на 2; это был первый пример компактной сложной поверхности без Кэлерова метрика.

Многомерные аналоги поверхностей Хопфа называются Многообразия Хопфа.

Инварианты

Поверхности Хопфа поверхности класса VII и, в частности, у всех есть Кодаира измерение , и все их плюригены исчезнут. Геометрический род равен 0. фундаментальная группа имеет нормальную центральную бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса. В Ходжа алмаз является

1
01
000
10
1

В частности первый Бетти число равно 1, а второе число Бетти равно 0. И наоборот. Кунихико Кодайра (1968) показал, что компактная комплексная поверхность с нулевым вторым числом Бетти, фундаментальная группа которой содержит бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса, является поверхностью Хопфа.

Первичные поверхности Хопфа

В течение классификация компактных сложных поверхностейКодаира классифицировал первичные поверхности Хопфа.

Первичная поверхность Хопфа получается как

куда группа, порожденная полиномиальным сжатием .Kodaira нашел нормальную форму для .В соответствующих координатах можно записать как

куда сложные числа , и либо или же .

Эти поверхности содержат эллиптическую кривую (изображение Иксось) и если образ у-axis - вторая эллиптическая кривая. Когда поверхность Хопфа является эллиптическим расслоением над проективной прямой, если для некоторых положительных целых чисел м и п, с отображением на проективную прямую, заданную формулой , а в противном случае единственными кривыми являются два изображения осей.

В Группа Пикард любой примарной поверхности Хопфа изоморфна ненулевым комплексным числам .

Кодаира (1966b) доказал, что комплексная поверхность диффеоморфна тогда и только тогда, когда это первичная поверхность Хопфа.

Вторичные поверхности Хопфа

Любая вторичная поверхность Хопфа имеет конечное неразветвленное покрытие, которое является первичной поверхностью Хопфа. Эквивалентно, его фундаментальная группа имеет в центре подгруппу конечного индекса, изоморфную целым числам. Масахидо Като (1975) классифицировал их, найдя конечные группы, действующие без неподвижных точек на примарных поверхностях Хопфа.

Многие примеры вторичных поверхностей Хопфа могут быть построены с подстилающим пространством, являющимся произведением сферические космические формы и круг.

Рекомендации