WikiDer > Гипертрансцендентальная функция
А гипертрансцендентная функция или трансцендентно трансцендентная функция это трансцендентный аналитическая функция что не является решением алгебраическое дифференциальное уравнение с коэффициентами в Z (в целые числа) и с алгебраическими первоначальные условия.
История
Термин «трансцендентально трансцендентный» был введен Э. Х. Мур в 1896 г .; термин «гипертрансцендентальный» был введен Д. Д. Мордухай-Болтовской в 1914 г.[1][2]
Определение
Одно стандартное определение (есть несколько вариантов) определяет решения дифференциальные уравнения формы
- ,
где - многочлен с постоянными коэффициентами, так как алгебраически трансцендентный или дифференциально-алгебраический. Трансцендентные функции, которые не алгебраически трансцендентный находятся трансцендентно трансцендентный. Теорема Гёльдера показывает, что гамма-функция находится в этой категории.[3][4][5]
Гипертрансцендентные функции обычно возникают как решения функциональные уравнения, например гамма-функция.
Примеры
Гипертрансцендентные функции
- Дзета-функции поля алгебраических чисел, в частности, Дзета-функция Римана
- В гамма-функция (ср. Теорема Гёльдера)
Трансцендентные, но не гипертрансцендентные функции
- В экспоненциальная функция, логарифм, а тригонометрический и гиперболический функции.
- В обобщенные гипергеометрические функции, включая особые случаи, такие как Функции Бесселя (за исключением некоторых частных случаев, которые являются алгебраическими).
Нетрансцендентные (алгебраические) функции
- Все алгебраические функции, особенно многочлены.
Смотрите также
Примечания
- ^ Д. Д. Мордыхай-Болтовской, "О гипертрансцендентности функции ξ (x, s)", Изв. Политех. Inst. Варшава 2: 1-16 (1914), цит. По: Анатолий А. Карацуба, С. М. Воронин, Дзета-функция Римана, 1992, ISBN 3-11-013170-6, п. 390
- ^ Мордугай-Болтовский (1949)
- ^ Элиаким Х. Мур, «О трансцендентно трансцендентных функциях», Mathematische Annalen 48:1-2:49-74 (1896) Дои:10.1007 / BF01446334
- ^ Р. Д. Кармайкл, «О трансцендентно трансцендентных функциях», Труды Американского математического общества 14: 3: 311-319 (июль 1913 г.) полный текст JSTOR 1988599 Дои:10.1090 / S0002-9947-1913-1500949-2
- ^ Ли А. Рубель, "Обзор трансцендентно трансцендентных функций", Американский математический ежемесячник 96: 777-788 (ноябрь 1989 г.) JSTOR 2324840
использованная литература
- Локстон, Дж. Х., Портен, А. Дж. ван дер "Класс гипертрансцендентных функций", Aequationes Mathematicae, Журнал 16
- Малер, К., "Arithmetische Eigenschaften einer Klasse transzendental-transzendenter Funktionen", Math. З. 32 (1930) 545-585.
- Мордухай-Болтовский Д. (1949), "О гипертрансцендентных функциях и гипертрансцендентных числах", Доклады Академии Наук СССР (Н.С.) (по-русски), 64: 21–24, Г-Н 0028347