WikiDer > Имманантный

В математике имманентный из матрица был определен Дадли Э. Литтлвуд и Арчибальд Рид Ричардсон как обобщение представлений о детерминант и постоянный.

Позволять ${displaystyle lambda = (lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots)}$ быть раздел из ${displaystyle n}$ и разреши ${displaystyle chi _ {lambda}}$ - соответствующий неприводимый теоретико-представительный персонаж из симметричная группа ${displaystyle S_ {n}}$. В имманентный из ${displaystyle n imes n}$ матрица ${displaystyle A = (a_ {ij})}$ связанный с персонажем ${displaystyle chi _ {lambda}}$ определяется как выражение

${displaystyle operatorname {Imm} _ {lambda} (A) = sum _ {sigma in S_ {n}} chi _ {lambda} (sigma) a_ {1sigma (1)} a_ {2sigma (2)} cdots a_ {nsigma (n)}.}$

Примеры

Определитель является частным случаем иммананта, где ${displaystyle chi _ {lambda}}$ это переменный характер ${displaystyle operatorname {sgn}}$, из S_п, определяемый четность перестановки.

Постоянный - это случай, когда ${displaystyle chi _ {lambda}}$ это тривиальный персонаж, что тождественно равно 1.

Например, для ${displaystyle 3 imes 3}$ матриц существует три неприводимых представления ${displaystyle S_ {3}}$, как показано в таблице символов:

${displaystyle S_ {3}}$	${displaystyle e}$	${displaystyle (1 2)}$	${displaystyle (1 2 3)}$
${displaystyle chi _ {1}}$	1	1	1
${displaystyle chi _ {2}}$	1	−1	1
${displaystyle chi _ {3}}$	2	0	−1

Как указано выше, ${displaystyle chi _ {1}}$ производит постоянные и ${displaystyle chi _ {2}}$ производит определитель, но ${displaystyle chi _ {3}}$ производит операцию, которая отображается следующим образом:

${displaystyle {egin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} end {pmatrix}} ightsquigarrow 2a_ {11} a_ {22} a_ {33} -a_ {12} a_ {23} a_ {31} -a_ {13} a_ {21} a_ {32}}$

Характеристики

Имманант разделяет несколько свойств с определителем и постоянным. В частности, имманант - это полилинейный в строках и столбцах матрицы; и имманант инвариантен относительно перестановок строк или столбцов.

Литтлвуд и Ричардсон изучали отношение иммананта к Функции Шура в теория представлений симметрической группы.

Рекомендации

• Д. Э. Литтлвуд; A.R. Ричардсон (1934). «Групповые персонажи и алгебры». Философские труды Королевского общества A. 233 (721–730): 99–124. Дои:10.1098 / рста.1934.0015.
• Д. Э. Литтлвуд (1950). Теория характеров групп и матричные представления групп (2-е изд.). Oxford Univ. Пресса (перепечатано AMS, 2006 г.). п. 81.