WikiDer > Изотопия алгебры

В математике изотопия из возможного неассоциативная алгебра А другому - тройка биективный линейные карты (а, б, c) так что если ху = z тогда а(Икс)б(у) = c(z). Это похоже на определение изотопия петель, за исключением того, что он также должен сохранять линейную структуру алгебры. За а = б = c это то же самое, что и изоморфизм. В группа автотопов алгебры - это группа всех изотопий самой себе (иногда называемая автотопиями), которая содержит группу автоморфизмов как подгруппу.

Изотопия алгебр была введена Альберт (1942), вдохновленного работой Стинрода. Некоторые авторы используют несколько иное определение, что изотопия - это тройка биективных линейных отображений. а, б, c так что если xyz = 1 тогда а(Икс)б(у)c(z) = 1. За альтернатива алгебры с делением такой как октонионы два определения изотопии эквивалентны, но в целом это не так.

Примеры

• Если а = б = c является изоморфизмом, то тройка (а, б, c) это изотопия. Наоборот, если алгебры имеют единичные элементы 1, которые сохраняются отображениями а и б изотопии, то а = б = c является изоморфизмом.
• Если А ассоциативная алгебра с единицей и а и c левое умножение на некоторый фиксированный обратимый элемент, и б тождество тогда (а, б, c) это изотопия. Аналогичным образом мы могли бы взять б и c как правое умножение на некоторый обратимый элемент и возьмем а быть личностью. Они образуют две коммутирующие подгруппы группы автотопии, и полная группа автотопии порождается этими двумя подгруппами и группой автоморфизмов.
• Если алгебра (не предполагаемая ассоциативной) с единичным элементом изотопна ассоциативной алгебре с единичным элементом, то эти две алгебры изоморфны. В частности, две ассоциативные алгебры с единичными элементами изотопны тогда и только тогда, когда они изоморфны. Однако ассоциативные алгебры с элементами идентичности могут быть изотопными алгебрам без элементов идентичности.
• Группой автотопий октонионов является вращательная группа Вращение₈, намного больше, чем его группа автоморфизмов грамм₂.
• Если B это мутация ассоциативной алгебры А обратимым элементом, то существует изотопия от А к B.
• Если а, б, и c - любые обратимые линейные отображения алгебры, и определяется новый продукт c⁻¹(а(Икс)б(у)), то алгебра, определяемая этим новым произведением, изотопна исходной алгебре. Например, комплексные числа с произведением Иксу изотопен комплексным числам с обычным произведением, даже если он не коммутативен и не имеет единичного элемента.

Рекомендации

• Альберт, А. А. (1942), "Неассоциативные алгебры. I. Основные понятия и изотопия", Анна. математики., 2, 43: 685–707, Дои:10.2307/1968960, МИСТЕР 0007747
• "Изотопия (in_algebra)", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Курош, А. Г. (1963), Лекции по общей алгебре, Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., МИСТЕР 0158000
• МакКриммон, Кевин (2004), Вкус йордановой алгебры, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / b97489, ISBN 978-0-387-95447-9, МИСТЕР 2014924, Zbl 1044.17001, Опечатки
• Уилсон, Р. А. (2008), Октонионы (PDF), Примечания к семинару по чистой математике