WikiDer > J-гомоморфизм

В математика, то J-гомоморфизм отображение из гомотопические группы из специальные ортогональные группы к гомотопические группы сфер. Это было определено Джордж Уайтхед (1942), продолжая конструкцию Хайнц Хопф (1935).

Определение

Исходный гомоморфизм Уайтхеда определяется геометрически и дает гомоморфизм

${ Displaystyle J двоеточие pi _ {r} ( mathrm {SO} (q)) to pi _ {r + q} (S ^ {q}) , !}$

абелевых групп для целых чисел q, и ${ displaystyle r geq 2}$. (Хопф определил это для частного случая ${ Displaystyle д = г + 1}$.)

В J-гомоморфизм можно определить следующим образом. Элемент специальной ортогональной группы SO (q) можно рассматривать как карту

${ Displaystyle S ^ {q-1} rightarrow S ^ {q-1}}$

и гомотопическая группа ${ displaystyle pi _ {r} ( operatorname {SO} (q))}$) состоит из гомотопия классы карт из р-сфера в SO (qТаким образом, элемент ${ displaystyle pi _ {r} ( operatorname {SO} (q))}$ может быть представлена ​​картой

${ Displaystyle S ^ {г} раз S ^ {q-1} rightarrow S ^ {q-1}}$

Применяя Строительство Хопфа к этому дает карту

${ Displaystyle S ^ {r + q} = S ^ {r} * S ^ {q-1} rightarrow S (S ^ {q-1}) = S ^ {q}}$

в ${ displaystyle pi _ {r + q} (S ^ {q})}$, который Уайтхед определил как изображение элемента ${ displaystyle pi _ {r} ( operatorname {SO} (q))}$ при J-гомоморфизме.

Принимая предел как q стремится к бесконечности дает стабильную J-гомоморфизм в теория стабильной гомотопии:

${ Displaystyle J двоеточие pi _ {r} ( mathrm {SO}) to pi _ {r} ^ {S}, , !}$

где SO - бесконечное специальная ортогональная группа, а правая часть - это р-й стабильный стержень из стабильные гомотопические группы сфер.

Образ J-гомоморфизма

Образ J-гомоморфизм описан Фрэнк Адамс (1966), предполагая Гипотеза Адамса из Адамс (1963) что было доказано Дэниел Квиллен (1971), следующее. Группа ${ displaystyle pi _ {r} ( operatorname {SO})}$ дан кем-то Периодичность Ботта. Это всегда циклично; и если р положительна, она имеет порядок 2, если р равно 0 или 1 по модулю 8, бесконечно, если р равно 3 по модулю 4, иначе порядок 1 (Switzer 1975, п. 488). В частности, имидж конюшни J-гомоморфизм циклический. Стабильные гомотопические группы ${ displaystyle pi _ {r} ^ {S}}$ являются прямой суммой (циклического) образа J-гомоморфизм, а ядро ​​е-инварианта Адамса (Адамс 1966) гомоморфизм стабильных гомотопических групп в ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$. Порядок изображения равен 2, если р равно 0 или 1 по модулю 8 и положительно (так что в этом случае J-гомоморфизм инъективен). Если ${ displaystyle r = 4n-1}$ равно 3 по модулю 4 и положительно, изображение представляет собой циклическую группу порядка, равного знаменателю ${ displaystyle B_ {2n} / 4n}$, куда ${ displaystyle B_ {2n}}$ это Число Бернулли. В остальных случаях, когда р 2, 4, 5 или 6 по модулю 8 изображение тривиально, потому что ${ displaystyle pi _ {r} ( operatorname {SO})}$ тривиально.

р	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
πр(ТАК)	1	2	1	Z	1	1	1	Z	2	2	1	Z	1	1	1	Z	2	2
| им (J)|	1	2	1	24	1	1	1	240	2	2	1	504	1	1	1	480	2	2
πрS	Z	2	2	24	1	1	2	240	22	23	6	504	1	3	22	480×2	22	24
B2п				1⁄6				−1⁄30				1⁄42				−1⁄30

Приложения

Атья (1961) представил группу J(Икс) пространства Икс, который для Икс сфера - это изображение J-гомоморфизм в подходящей размерности.

В коядро из J-гомоморфизм появляется в группе экзотические сферы (Косинский (1992) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKosinski1992 (помощь)).

Рекомендации

• Атья, Майкл Фрэнсис (1961), «Комплексы Тома», Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 11: 291–310, Дои:10.1112 / плмс / с3-11.1.291, МИСТЕР 0131880
• Адамс, Дж. Ф. (1963), «О группах J (X) I», Топология, 2 (3): 181, Дои:10.1016/0040-9383(63)90001-6
• Адамс, Дж. Ф. (1965a), «О группах J (X) II», Топология, 3 (2): 137, Дои:10.1016/0040-9383(65)90040-6
• Адамс, Дж. Ф. (1965b), «О группах J (X) III», Топология, 3 (3): 193, Дои:10.1016/0040-9383(65)90054-6
• Адамс, Дж. Ф. (1966), «О группах J (X) IV», Топология, 5: 21, Дои:10.1016/0040-9383(66)90004-8. "Коррекция", Топология, 7 (3): 331, 1968, Дои:10.1016/0040-9383(68)90010-4
• Хопф, Хайнц (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension", Fundamenta Mathematicae, 25: 427–440
• Косинский, Антони А. (1992), Дифференциальные многообразия, Сан-Диего, Калифорния: Академическая пресса, стр.195ff, ISBN 0-12-421850-4
• Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 58 (6): 804–809
• Квиллен, Дэниел (1971), «Гипотеза Адамса», Топология, 10: 67–80, Дои:10.1016/0040-9383(71)90018-8, МИСТЕР 0279804
• Свитцер, Роберт М. (1975), Алгебраическая топология - гомотопии и гомологии, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-06758-2
• Уайтхед, Джордж У. (1942), «О гомотопических группах сфер и группах вращений», Анналы математики, Вторая серия, 43 (4): 634–640, Дои:10.2307/1968956, JSTOR 1968956, МИСТЕР 0007107
• Уайтхед, Джордж У. (1978), Элементы теории гомотопии, Берлин: Springer, ISBN 0-387-90336-4, МИСТЕР 0516508