WikiDer > Карл Георг Кристиан фон Штаудт

Карл Г. К. фон Штаудт
Карл фон Штаудт (1798 - 1867)
Родившийся	24 января 1798 г. (1798-01-24) Свободный Императорский город Ротенбург (современный день Ротенбург-об-дер-Таубер, Германия)
Умер	1 июня 1867 г. (1867-07) (69 лет) Эрланген
Национальность	Немецкий
Альма-матер	Университет Эрлангена
Известен	Алгебра бросков Теорема фон Штаудта-Клаузена
Научная карьера
Поля	Астрономия Математика
Докторант	Гаусс
Влияния	Гаусс
Под влиянием	Эдуардо Торроха Кабалье Коррадо Сегре Марио Пиери

Карл Георг Кристиан фон Штаудт (24 января 1798 - 1 июня 1867) Немецкий математик кто использовал синтетическая геометрия чтобы обеспечить основу для арифметики.

Жизнь и влияние

Карл родился в Вольном имперском городе Ротенбург, который сейчас называется Ротенбург-об-дер-Таубер в Германии. С 1814 года учился в гимназии в Аусбахе. Он присутствовал на Геттингенский университет с 1818 по 1822 год, где он учился с Гаусс который был директором обсерватории. Штаудт предоставил эфемериды для орбит Марс и астероид Паллада. Когда в 1821 году Комета Николет-Понса наблюдал, он предоставил элементы его орбита. Эти достижения в астрономия заработал ему докторскую степень Университет Эрлангена в 1822 г.

Профессиональная карьера Штаудта началась преподавателем средней школы в г. Вюрцбург до 1827 г., а затем Нюрнберг до 1835 года. Он женился на Жанетте Дрешлер в 1832 году. У них были сын Эдуард и дочь Матильда, но Жанетт умерла в 1848 году.

Книга Geometrie der Lage (1847 г.) был вехой в проективная геометрия. Как писал Бурау (1976):

Штаудт был первым, кто применил строгий подход. Все без исключения его предшественники по-прежнему говорили о расстояниях, перпендикулярах, углах и других объектах, которые не играют никакой роли в проективной геометрии.^[1]

Кроме того, в этой книге (стр. 43) используется полный четырехугольник чтобы «построить четвертую гармонику, связанную с тремя точками на прямой», проективное гармоническое сопряжение.

Действительно, в 1889 г. Марио Пиери перевел фон Штаудт, прежде чем написать свой I Principii della Geometrie di Posizione Composti in un Systema Logico-deduttivo (1898). В 1900 г. Шарлотта Скотт из Колледж Брин-Моур перефразировал большую часть работ фон Штаудта на английском языке для Математический вестник.^[2] Когда Вильгельм Блашке опубликовал свой учебник Проективная геометрия в 1948 г. портрет молодого Карла был помещен напротив Vorwort.

Штаудт вышел за рамки реальной проективной геометрии и обратился к сложное проективное пространство в его трех томах Beiträge zur Geometrie der Lage издавался с 1856 по 1860 гг.

В 1922 г. Х. Ф. Бейкер писал о работе фон Штаудта:

Это был фон Штаудт, для которого устранение идей дистанции и конгруэнтности было сознательной целью, если бы также признание важности этого могло быть значительно отложено, если бы не работа Кэли и Кляйн по проективной теории расстояния. . Обобщенные и объединенные с последующей диссертацией Римана, тома фон Штаудта следует рассматривать как основу того, чем с геометрической стороны может стать теория относительности в физике.^[3]

Фон Штаудт также известен своим взглядом на конические секции и отношение полюс и полярный:

Фон Штаудт сделал важное открытие: связь, устанавливаемая коникой между полюсами и полюсами, на самом деле более фундаментальна, чем сама коника, и может быть установлена ​​независимо. Эту "полярность" затем можно использовать для определять коника совершенно симметрична и непосредственно самодвойственна: коника - это просто геометрическое место точек, лежащих на их полюсах, или огибающая линий, проходящих через их полюса. Отношение фон Штаудта к квадрики аналогично в трех измерениях.^[4]

Алгебра бросков

В 1857 г. во второй Beiträge, фон Штаудт предложил путь к количеству через геометрию, названный алгебра бросков (Немецкий: Wurftheorie). Он основан на проективный диапазон и отношение проективные гармонические сопряжения. С помощью операций сложения и умножения точек получается «алгебра точек», как в главе 6 учебника Веблена и Янга по проективной геометрии. Обычная презентация опирается на перекрестное соотношение (CA, BD) четырех коллинеарных точек. Например, Кулидж писал:^[5]

Как сложить два расстояния? Мы даем им одну и ту же отправную точку, находим точку на полпути между их конечными точками, то есть гармоническое сопряжение бесконечности относительно их конечных точек, а затем находим гармоническое сопряжение начальной точки относительно этой середины. точка и бесконечность. Обобщая это, если мы хотим добавить броски (CA, BD) и (CA, BD ' ), мы нашли M гармоническое сопряжение C в отношении к D и D ' , а потом S гармоническое сопряжение А в отношении к C и M :

${ Displaystyle (CA, BD) + (CA, BD ') = (CA, BS). }$

Таким же образом мы можем найти определение произведения двух бросков. Поскольку произведение двух чисел имеет такое же отношение к одному из них, как и другое к единице, отношение двух чисел является перекрестным отношением, которое они, как пара, имеют к бесконечности и нулю, поэтому Фон Штаудт в предыдущих обозначениях определяет произведение двух бросков на

${ displaystyle (CA, BD) cdot (CA, DD ') = (CA, BD').}$

Эти определения включают в себя длинную серию шагов, чтобы показать, что определенная таким образом алгебра подчиняется обычным коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным законам и что делителей нуля не существует.

Сводное заявление предоставлено Веблен и Янг.^[6] как теорема 10: «Множество точек на прямой с ${ displaystyle P _ { infty}}$ удален, образует поле применительно к ранее определенным операциям ". Как отмечает Фройденталь^[7]:199

... вплоть до Гильберта не было другого примера такого прямого вывода алгебраических законов из геометрических аксиом, как в работе фон Штаудта. Beiträge.

Еще одно подтверждение работы фон Штаудта с гармоническими сопряжениями представлено в форме теоремы:

Единственное взаимно однозначное соответствие между действительными точками на прямой, которое сохраняет гармоническое отношение между четырьмя точками, - это неособая проективность.^[8]

Алгебра бросков была описана как «проективная арифметика» в Четыре столпа геометрии (2005).^[9]В разделе "Проективная арифметика" он говорит

Настоящая трудность состоит в том, что построение а + б , например, отличается от конструкции б + а, так что это "совпадение", если а + б = б + а. Точно так же это «совпадение», если ab = ба, любого другого закона алгебры. К счастью, мы можем показать, что требуемые совпадения действительно имеют место, потому что они подразумеваются некоторыми геометрическими совпадениями, а именно теоремами Паппа и Дезарга.

Если интерпретировать работу фон Штаудта как построение действительных чисел, то он неполный. Одно из обязательных свойств - ограниченная последовательность имеет кластерная точка. В качестве Ганс Фройденталь наблюдаемый:

Чтобы иметь возможность рассматривать подход фон Штаудта как строгую основу проективной геометрии, нужно только явно добавить топологические аксиомы, которые негласно использует фон Штаудт. ... как можно сформулировать топология проективного пространства без метрики? Фон Штаудт был еще далек от того, чтобы поставить этот вопрос, который спустя четверть века станет актуальным. ... Феликс Кляйн заметил пробел в подходе фон Штаудта; он осознавал необходимость сформулировать топологию проективного пространства независимо от евклидова пространства ... итальянцы были первыми, кто нашел действительно удовлетворительные решения проблемы чисто проективного основания проективной геометрии, которую фон Штауд пытался решить. .^[7]

Один из итальянских математиков был Джованни Вайлати кто изучал круговой приказ свойство реальной проективной линии. Наука этого порядка требует четвертичное отношение называется разделительное отношение. Используя это отношение, концепции монотонной последовательности и предела могут быть рассмотрены в циклической «строке». Предполагая, что каждая монотонная последовательность имеет предел,^[10] линия становится полное пространство. Эти разработки были вдохновлены выводами фон Штаудта о аксиомы поля как инициатива в выводе свойств из аксиом проективной геометрии.

Работает

• 1831: Über die Kurven, 2. Ordnung. Нюрнберг
• 1845: De numeris Bernoullianis: commentationem alteram pro loco в факультативном философском ритуале obtinendo, Кэрол. G. Chr. де Штаудт. Erlangae: Junge.
• 1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu acadeo rite obtinendi causa commentatus est, Carol. G. Chr. де Штаудт. Erlangae: Junge.

Следующие ссылки предназначены для Корнелл Университет Историко-математические монографии:

• 1847: Geometrie der Lage. Нюрнберг.
• 1856: Beiträge zur Geometrie der Lage, Erstes Heft. Нюрнберг.
• 1857: Beiträge zur Geometrie der Lage, Zweites Heft. Нюрнберг.
• 1860: Beiträge zur Geometrie der Lage, Drittes Heft. Нюрнберг.

Смотрите также

• W-кривая

Рекомендации

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Карл Джордж Кристиан фон Штаудт", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• Веблен, Освальд; Янг, Дж. У. А. (1938). Проективная геометрия. Бостон: Ginn & Co. ISBN 978-1-4181-8285-4.
• Джон Уэсли Янг (1930) Проективная геометрия, Глава 8: Алгебра точек и введение аналитических методов, Открытый суд за Математическая ассоциация Америки.