WikiDer > Вихрь Керра – Дольда

В динамика жидкостей, Вихрь Керра – Дольда точное решение Уравнения Навье – Стокса, который представляет собой установившиеся периодические вихри, наложенные на поток в точке застоя (или объемный поток). Решение было найдено Оливером С. Керром и Джоном В. Долдом в 1994 году.^[1][2] Эти стационарные решения существуют в результате баланса между растяжением вихрей за счет протяженного потока и вязкой диссипацией, которые аналогичны Burgers vortex. Эти вихри наблюдались экспериментально в установке с четырьмя валками Лагнадо и Л. Гэри Лил.^[3]

Математическое описание

Течение точки торможения, которое уже является точным решением уравнения Навье – Стокса, определяется выражением ${ displaystyle mathbf {U} = (0, -Ay, Az)}$, куда ${ displaystyle A}$ - скорость деформации. К этому потоку можно добавить дополнительное периодическое возмущение, так что новое поле скорости можно записать как

${ Displaystyle mathbf {u} = { begin {bmatrix} 0 - Ay Az end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} u (x, y) v (x, y) 0 end {bmatrix}}}$

где беспокойство ${ Displaystyle и (х, у)}$ и ${ Displaystyle v (х, у)}$ считаются периодическими в ${ displaystyle x}$ направление с фундаментальным волновым числом ${ displaystyle k}$. Керр и Долд показали, что такие возмущения существуют с конечной амплитудой, что сделало решение точным для уравнений Навье – Стокса. Представляем функцию потока ${ displaystyle psi}$ для компонент скорости возмущения можно показать, что уравнения для возмущений в формулировке функции тока завихренности сводятся к

${ displaystyle { begin {align} omega & = - left ({ frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}}) { partial y ^ {2}}} right) psi [6pt] { frac { partial psi} { partial y}} { frac { partial omega} { partial x}} - { frac { partial psi} { partial x}} { frac { partial omega} { partial y}} & - Ай { frac { partial omega} { partial y}} - A omega = nu left ({ frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} { partial y ^ {2}) }} right) omega end {align}}}$

куда ${ displaystyle omega}$ это беспокойство завихренность. Единый параметр

${ displaystyle lambda = { frac {A} { nu k ^ {2}}}}$

может быть получен при обезразмеривании, которое измеряет силу сходящегося потока к вязкой диссипации. Предполагается, что решение будет

${ displaystyle psi = sum _ {k = - infty} ^ { infty} [a_ {k} (y) + ib_ {k} (y)] e ^ {- ikx}.}$

Легко убедиться, что ${ displaystyle a_ {k} = a _ {- k}, , b_ {k} = - b _ {- k}, , a_ {0} = b_ {0} = b_ {1} = 0.}$ После подстановки будет получена бесконечная последовательность дифференциальных уравнений, связанных нелинейно. Чтобы вывести следующие уравнения, Продукт Коши будет использоваться правило. Уравнения^[4][5]

${ displaystyle { begin {align} & a_ {k} '' '' + Aya_ {k} '' '+ (A-2k ^ {2}) a_ {k}' '- k ^ {2} Aya_ {k } '- k ^ {2} Aa_ {k} + k ^ {4} a_ {k} [6pt] & {} + i left [b_ {k}' '' '+ Ayb_ {k}' ' '+ (A-2k ^ {2}) b_ {k}' '- k ^ {2} Ayb_ {k}' - k ^ {2} Ab_ {k} + k ^ {4} b_ {k} right ] [6pt] = {} & i sum _ { ell = - infty} ^ { infty} left { left (a_ {k- ell} '+ ib_ {k- ell}' right) left [ ell a _ { ell} '' - ell ^ {3} a _ { ell} + i ( ell b _ { ell} '' - ell ^ {3} b _ { ell }) right] - (k- ell) left (a_ {k- ell} + ib_ {k- ell} right) left [a _ { ell} '' '- ell ^ {2 } a _ { ell} '+ i (b _ { ell}' '' - ell ^ {2} b _ { ell} ') right] right }. end {выравнивается}}}$

Граничные условия

${ Displaystyle a_ {k} '(0) = b_ {k} (0) = a_ {k} ( infty) = b_ {k} ( infty) = 0}$

и соответствующего условия симметрии достаточно для решения задачи. Можно показать, что нетривиальное решение существует только тогда, когда ${ displaystyle lambda> 1.}$ При численном решении этого уравнения проверяется, что сохранение первых 7-8 членов достаточно для получения точных результатов.^[6] Решение, когда ${ displaystyle lambda = 1}$ является ${ Displaystyle psi = соз х}$ был обнаружен Крейком и Криминал в 1986 году.^[7]

Рекомендации