WikiDer > Теорема Кирхбергерса - Википедия

Kirchbergers theorem - Wikipedia

Теорема Кирхбергера это теорема в дискретная геометрия, на линейная отделимость. Двумерный вариант теоремы утверждает, что если конечный набор красных и синих точек в Евклидова плоскость обладает тем свойством, что для каждых четырех точек существует линия, разделяющая красную и синюю точки внутри этих четырех, тогда существует одна линия, отделяющая все красные точки от всех синих точек. Дональд Уотсон выразил этот результат более красочно, используя аналогию с фермерским двором:

Если овцы и козы пасутся в поле и для каждых четырех животных существует линия, отделяющая овцу от коз, то такая линия существует для всех животных.[1]

В более общем смысле, для конечного числа красных и синих точек в -размерный Евклидово пространство, если красная и синяя точки в каждом подмножестве точек линейно разделимы, то все красные точки и все синие точки линейно разделимы. Другой эквивалентный способ сформулировать результат: если выпуклые оболочки конечного числа красных и синих точек имеет непустое пересечение, то существует подмножество точки, для которых также пересекаются выпуклые оболочки красной и синей точек в подмножествах.[2][3]

История и доказательства

Теорема названа в честь немецкого математика Пауля Кирхбергера, ученика Дэвид Гильберт на Геттингенский университет который доказал это в своей диссертации 1902 года,[4] и опубликовал его в 1903 г. Mathematische Annalen,[5] в качестве вспомогательной теоремы, использованной им при анализе Чебышевское приближение. В отчете Гильберта о диссертации говорится, что некоторые вспомогательные теоремы Кирхбергера в этой части его диссертации были известны Герман Минковски но не опубликовано; неясно, применимо ли это утверждение к результату, ныне известному как теорема Кирхбергера.[6]

Со времени работы Кирхбергера были опубликованы и другие доказательства теоремы Кирхбергера, включая простые доказательства, основанные на Теорема Хелли на пересечении выпуклые множества,[7] на основе Теорема Каратеодори о членстве в выпуклые оболочки,[2] или на основе принципов, связанных с Теорема Радона на пересечениях выпуклых оболочек.[3] Тем не менее, теорема Хелли, теорема Каратеодори и теорема Радона - все это теорема Кирхбергера, появившаяся позднее.

Обобщения и связанные результаты

Усиленная версия теоремы Кирхбергера фиксирует одну из указанных точек и рассматривает только подмножества точки, которые включают фиксированную точку. Если красная и синяя точки в каждом из этих подмножеств линейно разделимы, то все красные точки и все синие точки линейно разделимы.[1] Теорема также верна, если красные и синие точки образуют компактные наборы которые не обязательно конечны.[3]

Используя стереографическая проекция, Теорема Кирхбергера может быть использована для доказательства аналогичного результата для круговой или сферической разделимости: если каждые пять точек из конечного числа красных и синих точек на плоскости могут иметь свои красные и синие точки, разделенные кругом, или каждые точки в более высоких измерениях могут иметь свои красные и синие точки, разделенные знаком гиперсфера, то таким же образом можно разделить все красные и синие точки.[8]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Уотсон, Дональд (1973), "Уточнение теорем Кирхбергера и Каратеодори", Австралийское математическое общество, 15 (2): 190–192, Дои:10.1017 / S1446788700012957, МИСТЕР 0333980
  2. ^ а б Шимрат, Моше (1955), «Простое доказательство теоремы П. Кирхбергера», Тихоокеанский математический журнал, 5 (3): 361–362, Дои:10.2140 / pjm.1955.5.361, МИСТЕР 0071796
  3. ^ а б c Вебстер, Р. Дж. (1983), "Еще одно простое доказательство теоремы Кирхбергера", Журнал математического анализа и приложений, 92 (1): 299–300, Дои:10.1016 / 0022-247X (83) 90286-X, МИСТЕР 0694178
  4. ^ Пол Кирхбергер на Проект "Математическая генеалогия"
  5. ^ Кирхбергер, Пауль (1903), "Über Tchebychefsche Annäherungsmethoden", Mathematische Annalen, 57 (4): 509–540, Дои:10.1007 / BF01445182, МИСТЕР 1511222, S2CID 120774553
  6. ^ Стеффенс, Карл-Георг, "4.3 Тезис Кирхбергера", История теории приближений: от Эйлера до Бернштейна, Boston: Birkhäuser, стр. 135–137, Дои:10.1007 / 0-8176-4475-x_4, МИСТЕР 2190312
  7. ^ Радемахер, Ганс; Шенберг, И. Дж. (1950), "Теоремы Хелли о выпуклых областях и проблема аппроксимации Чебычева", Канадский математический журнал, 2: 245–256, Дои:10.4153 / cjm-1950-022-8, МИСТЕР 0035044
  8. ^ Лэй, С. Р. (1971), "О разделении сферическими поверхностями", Американский математический ежемесячный журнал, 78 (10): 1112–1113, Дои:10.2307/2316320, JSTOR 2316320, МИСТЕР 0300201

дальнейшее чтение

  • Бергольд, Елена; Фельснер, Стефан; Шойхер, Манфред; Шредер, Феликс; Штайнер, Рафаэль (2020), «Топологические рисунки соответствуют классическим теоремам выпуклой геометрии», Материалы 28-го Международного симпозиума по рисованию графиков и визуализации сетей, arXiv:2005.12568
  • Хоул, Майкл Э. (1991), "Теоремы о существовании разделяющих поверхностей", Дискретная и вычислительная геометрия, 6 (1): 49–56, Дои:10.1007 / BF02574673, МИСТЕР 1073072, S2CID 1992810
  • Ланги, Жолт; Насзоди, Мартон (2008), "Теоремы типа Кирхбергера для разделения выпуклыми областями", Periodica Mathematica Hungarica, 57 (2): 185–196, Дои:10.1007 / s10998-008-8185-6, МИСТЕР 2469604, S2CID 15506550
  • Нетребин, А.Г .; Шашкин, Ю. А. (1985), "Теоремы типа Кирхбергера и Каратеодори в обобщенных пространствах выпуклости", Доклады Академии Наук СССР, 283 (5): 1085–1088, МИСТЕР 0802134
  • Ренни, Б. С. (1970), "Теорема, подобная теореме Кирхбергера", Журнал Лондонского математического общества, Вторая серия, 2: 40–44, Дои:10.1112 / jlms / s2-2.1.40, МИСТЕР 0250192