WikiDer > Теорема Колмогорова – Арнольда о представлении

Kolmogorov–Arnold representation theorem

В реальный анализ и теория приближения, то Теорема Колмогорова – Арнольда о представлении (или же теорема суперпозиции) утверждает, что каждый многомерный непрерывный функция можно представить как суперпозицию непрерывных функций одной переменной. Он решил более ограниченную, но более общую форму Тринадцатая проблема Гильберта.[1][2]

Работы Андрей Колмогоров и Владимир Арнольд установлено, что если ж является многомерной непрерывной функцией, то ж можно записать как конечное сочинение непрерывных функций одной переменной и бинарная операция из добавление.[3] В частности,

.

Конструктивные доказательства и даже более конкретные конструкции можно найти в.[4]

В каком-то смысле они показали, что единственной истинной многомерной функцией является сумма, поскольку любая другая функция может быть записана с использованием одномерный функции и суммирование.[5]

История

Теорема Колмогорова – Арнольда о представлении тесно связана с 13-я проблема Гильберта. В его Париж лекция в Международный конгресс математиков в 1900 г., Дэвид Гильберт сформулирован 23 задачи которые, по его мнению, были важны для дальнейшего развития математики.[6] 13-я из этих задач касалась решения общих уравнений высших степеней. Известно, что для алгебраических уравнений степени 4 решение может быть вычислено по формулам, содержащим только радикалы и арифметические операции. Для более высоких заказов, Теория Галуа показывает нам, что решения алгебраических уравнений не могут быть выражены в терминах основных алгебраических операций. Из так называемого Трансформация Чирнхауса что общее алгебраическое уравнение

можно перевести в форму . Преобразование Чирнхауза задается формулой, содержащей только радикалы, арифметические операции и преобразования. Следовательно, решение алгебраического уравнения степени можно представить как суперпозицию функций двух переменных, если и как суперпозиция функций переменные, если . За решение представляет собой суперпозицию арифметических операций, радикалов и решение уравнения .

Дальнейшее упрощение с помощью алгебраических преобразований кажется невозможным, что привело к гипотезе Гильберта о том, что «Решение общего уравнения степени 7 не может быть представлено как суперпозиция непрерывных функций двух переменных». Это объясняет отношение Тринадцатая проблема Гильберта к представлению многомерной функции в виде суперпозиции низкоразмерных функций. В этом контексте это стимулировало многие исследования различных авторов по теории функций и другим смежным проблемам.[7]

Варианты

Вариант теоремы Колмогорова, сокращающий количество внешних функций связано с Джордж Лоренц.[8] В 1962 году он показал, что внешние функции можно заменить одной функцией . Точнее, Лоренц доказал существование функций , , такой, что

.

Дэвид Спречер[9] заменил внутренние функции одной-единственной внутренней функцией с соответствующим сдвигом в ее аргументе. Он доказал, что существуют реальные ценности , непрерывная функция , и действительная возрастающая непрерывная функция с , за , так что

.

Филипп А. Остранд [10] обобщил теорему Колмогорова о суперпозиции на компактные метрические пространства. За позволять быть компактными метрическими пространствами конечной размерности и разреши . Тогда существуют непрерывные функции и непрерывные функции такая, что любая непрерывная функция представима в виде

.

Ограничения

Теорема не верна в общем случае для сложных многомерных функций, как обсуждается здесь.[11] Кроме того, негладкость внутренних функций и их «дикое поведение» ограничивают практическое использование представления,[12] хотя по этому поводу ведутся споры [13]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Борис Александрович Хесин; Серж Л. Табачников (2014). Арнольд: плыть против течения. Американское математическое общество. п. 165. ISBN 978-1-4704-1699-7.
  2. ^ Сигео Акаси (2001). «Применение теории ϵ-энтропии к теореме Колмогорова - Арнольда о представлении», Доклады по математической физике, v. 48, pp. 19–26 DOI: 10.1016 / S0034-4877 (01) 80060-4
  3. ^ Бар-Натан, Дрор. "Десерт: 13-я проблема Гильберта в полном цвете".
  4. ^ Юрген Браун и Михаэль Грибель. «О конструктивном доказательстве теоремы Колмогорова о суперпозиции», https://link.springer.com/article/10.1007/s00365-009-9054-2
  5. ^ Перси Диаконис и Мехрдад Шахшахани, О линейных функциях линейных комбинаций (1984) стр. 180 (связь)
  6. ^ Гильберт, Дэвид (1902). «Математические задачи». Бюллетень Американского математического общества. 8 (10): 461–462. Дои:10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3.
  7. ^ Юрген Браун, О теореме Колмогорова о суперпозиции и ее приложениях, SVH Verlag, 2010, 192 с.
  8. ^ Лоренц, Г. Г. (1962). «Метрическая энтропия, ширины и суперпозиции функций». Американский математический ежемесячный журнал. 69 (6): 469–485. Дои:10.1080/00029890.1962.11989915.
  9. ^ Дэвид А. Спречер, О структуре непрерывных функций многих переменных, Труды Американского математического общества, 115 (1965), стр. 340–355.
  10. ^ Остранд, Филипп А. (1965). «Размерность метрических пространств и проблема Гильберта 13». Бюллетень Американского математического общества. 71 (4): 619–622. Дои:10.1090 / с0002-9904-1965-11363-5.
  11. ^ Сигео Акаси. «Применение теории ϵ-энтропии к теореме Колмогорова - Арнольда о представлении», https://doi.org/10.1016/S0034-4877(01)80060-4
  12. ^ Ф. Джироси и Т. Поджио, «Представительные свойства сетей: теорема Колмогорова неактуальна», в Neural Computing, т. 1, вып. 4, стр. 465-469, декабрь 1989 г., DOI: 10.1162 / neco.1989.1.4.465.
  13. ^ Věra Kůrková. «Теорема Колмогорова актуальна», https://doi.org/10.1162/neco.1991.3.4.617

Источники

  • Андрей Колмогоров, «О представлении непрерывных функций многих переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных», Известия АН СССР., 108 (1956), стр. 179–182; Английский перевод: Амер. Математика. Soc. Пер., 17 (1961), стр. 369–373.
  • Владимир Арнольд, «О функциях трех переменных», Известия АН СССР., 114 (1957), стр. 679–681; Английский перевод: Амер. Математика. Soc. Пер., 28 (1963), стр. 51–54.

дальнейшее чтение

  • С.Я. Хавинсон, Наилучшее приближение с помощью линейных суперпозиций (приблизительная номография), Переводы математических монографий AMS (1997)

внешняя ссылка