WikiDer > Колмогорова теорема непрерывности

Kolmogorov continuity theorem

В математика, то Колмогорова теорема непрерывности это теорема это гарантирует, что случайный процесс который удовлетворяет определенным ограничениям на моменты его приращений будет непрерывным (точнее, иметь «непрерывную версию»). Это зачислено в Советский математик Андрей Николаевич Колмогоров.

утверждение

Позволять ${ displaystyle (S, d)}$ - некоторое полное метрическое пространство, и пусть ${ Displaystyle X: [0, + infty) times Omega to S}$ быть случайным процессом. Предположим, что на все времена ${ displaystyle T> 0}$ , существуют положительные постоянные ${ Displaystyle альфа, бета, K}$ такой, что

{ displaystyle mathbb {E} [d (X_ {t}, X_ {s}) ^ { alpha}] leq K | t-s | ^ {1+ beta}}

для всех ${ displaystyle 0 leq s, т leq T}$ . Тогда существует модификация ${ displaystyle { tilde {X}}}$ из ${ displaystyle X}$ это непрерывный процесс, т.е. процесс ${ displaystyle { тильда {X}}: [0, + infty) times Omega to S}$ такой, что

${ displaystyle { tilde {X}}}$ является непрерывная выборка;
на каждый раз ${ Displaystyle т geq 0}$ , ${ displaystyle mathbb {P} (X_ {t} = { tilde {X}} _ {t}) = 1.}$

Кроме того, пути ${ displaystyle { tilde {X}}}$ находятся на местном уровне ${ displaystyle gamma}$ -Hölder-непрерывный для каждого ${ displaystyle 0 < gamma <{ tfrac { beta} { alpha}}}$ .

Пример

В случае Броуновское движение на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ , выбор констант ${ displaystyle alpha = 4}$ , ${ displaystyle beta = 1}$ , ${ Displaystyle К = п (п + 2)}$ будет работать в теореме Колмогорова о непрерывности. Более того, для любого натурального числа ${ displaystyle m}$ , константы ${ displaystyle alpha = 2m}$ , ${ Displaystyle бета = м-1}$ будет работать, для некоторого положительного значения ${ displaystyle K}$ это зависит от ${ displaystyle n}$ и ${ displaystyle m}$ .