WikiDer > Конвергенция Куратовского

В математика, Конвергенция Куратовского это понятие конвергенция за последовательности (или, в более общем смысле, сети) из компактные подмножества из метрические пространства, названный в честь Казимеж Куратовски. Интуитивно понятно, что предел Куратовского последовательности множеств - это то место, где множества "накапливать".

Определения

Позволять (Икс, d) быть метрическое пространство, куда Икс это набор и d является функцией расстояния между точками Икс.

Для любой точки Икс ∈ Икс и любой непустой компактное подмножество А ⊆ Икс, определите расстояние между точкой и подмножеством:

${displaystyle d (x, A) = inf {d (x, a) | ain A}}$.

Для любой последовательности таких подмножеств А_п ⊆ Икс, п ∈ N, то Куратовски ограничивать низший (или же нижний предел закрытия) из А_п так как п → ∞ является

${displaystyle mathop {mathrm {Li}} _ {n o infty} A_ {n} = left {xin Xleft | limsup _ {n o infty} d (x, A_ {n}) = 0ight.ight}}$

${displaystyle = left {xin Xleft | {egin {matrix} {mbox {для всех открытых окрестностей}} U {mbox {of}} x, Ucap A_ {n} eq emptyset {mbox {для достаточно большого}} nend {matrix }} ight.ight};}$

то Куратовский предел высший (или же верхний предел закрытия) из А_п так как п → ∞ является

${displaystyle mathop {mathrm {Ls}} _ {n o infty} A_ {n} = left {xin Xleft | liminf _ {n o infty} d (x, A_ {n}) = 0ight.ight}}$

${displaystyle = left {xin Xleft | {egin {matrix} {mbox {для всех открытых окрестностей}} U {mbox {of}} x, Ucap A_ {n} eq emptyset {mbox {для бесконечного множества}} nend {matrix }} ight.ight}.}$

Если пределы Куратовского согласуются между нижним и верхним (то есть являются одним и тем же подмножеством Икс), то их общее значение называется Куратовский предел наборов А_п так как п → ∞ и обозначили Lt_п→∞А_п.

Определения для общей сети компактных подмножеств Икс проходить через mutatis mutandis.

Характеристики

• Хотя может показаться нелогичным, что нижний предел Куратовского включает верхний предел расстояний, и наоборотноменклатура становится более очевидной, если увидеть, что для любой последовательности наборов

${displaystyle mathop {mathrm {Li}} _ {n o infty} A_ {n} substeq mathop {mathrm {Ls}} _ {n o infty} A_ {n}.}$

Т.е. нижний предел - это меньший набор, а верхний предел - больший.

• Термины верхний и нижний закрытый предел проистекают из того факта, что Li_п→∞А_п и Ls_п→∞А_п всегда закрытые наборы в метрической топологии на (Икс, d).

Связанные концепции

Для метрических пространств Икс у нас есть следующее:

• Сходимость по Куратовскому совпадает со сходимостью в Упала топология.
• Сходимость по Куратовскому слабее, чем сходимость в Топология Виеториса.
• Сходимость по Куратовскому слабее, чем сходимость в Метрика Хаусдорфа.
• Для компактных метрических пространств Икс, Сходимость по Куратовскому совпадает как со сходимостью в метрике Хаусдорфа, так и в топологии Виеториса.
• Куратовски конвергенция эпиграфы расширенных действительных функций эквивалентно ${displaystyle Gamma}$-конвергенция этих функций.

Примеры

• Позволять А_п - нулевое множество sin (nx) как функция Икс из р себе

${displaystyle A_ {n} = {ig {} xin mathbf {R} {ig |} sin (nx) = 0 {ig}}.}$

потом А_п сходится в смысле Куратовского ко всей действительной прямой р. Обратите внимание, что в этом случае А_п не обязательно быть компактным.

Смотрите также

• Лемма Бореля – Кантелли.
• Конвергенция Вейсмана
• Расстояние Хаусдорфа
• Геминепрерывность
• Топология Виеториса
• Гамма-сходимость

Рекомендации

• Куратовски, Казимеж (1966). Топология. Том I и II. Новое издание, переработанное и дополненное. Перевод с французского Я. Яворовски. Нью-Йорк: Academic Press. стр. xx + 560. Г-Н0217751

• Пиво, Джеральд (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах. Математика и ее приложения. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. С. xii + 340.