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LC-kring

Animierte Bedienung eines LC-Kreises

EIN LC-Kreis ist ein Stromkreis bestehend aus a Spule und ein Kondensator. Es gibt aufgrund der Vernachlässigung der elektrischer Wiederstand, vorausgesetzt, es tritt kein Energieverlust in der Schaltung auf.

Der LC-Kreis verhält sich wie a Resonanzkreis. Resonanzkreise sind ein wichtiger Bestandteil vieler Anwendungen wie z Oszillatoren, Filter, Tuner, DC-AC-Wandler und Mischerkreise.

Resonanzfrequenz

Ein LC-Kreis hat keinen Widerstand. Wird dieser Kreis angeregt, zum Beispiel durch Aufladen des Kondensators, entsteht eine Schwingung mit Frequenz ${displaystyle f_{0}}$ , wo Energie periodisch vom Kondensator zur Spule und umgekehrt fließt. Ohne Widerstand treten keine Verluste auf und die Schaltung schwingt weiter.

Der resonante Eckfrequenzhoek ${displaystyle omega_{0}}$ (in Radiant pro Sekunde) ist gegeben durch:

{displaystyle omega _{0}={frac {1}{sqrt {Lcdot C}}}}

in welchem

{Anzeigestil L}

das Induktivität von der Spule in Henry, und

{Anzeigestil C}

die Kapazität des Kondensators in Farad

Die Resonanzfrequenz ${displaystyle f_{0}}$ ist dann:

{displaystyle f_{0}={frac {omega _{0}}{2pi }}}

So:

{displaystyle f_{0}={frac {1}{2pi {sqrt {Lcdot C}}}}}

Berechnung

Von dem Kirchhoffs Spannungsgesetz folgt, dass die Spannung ${Displaystil V_{C}}$ über dem Kondensator muss betragsmäßig gleich der Spannung sein ${Displaystil V_{L}}$ über die Spule:

{Displaystil V_{C}=-V_{L}}

Ebenso folgt aus dem Kirchhoffs aktuelles Gesetz dass die Ströme durch den Kondensator und die Spule gleich sein müssen:

{displaystyle i_{C}=i_{L}}

Ist auch

{displaystyle V_{L}(t)=L{frac {mathrm {d} i_{L}}{mathrm {d} t}}}

und

{displaystyle i_{C}(t)=C{frac {mathrm {d} V_{C}}{mathrm {d} t}}}

Nach dem Umschreiben und Ersetzen folgt eine zweite OrdnungDifferentialgleichung

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}i(t)}{mathrm {d} t^{2}}} {frac {1}{LC}}i(t)=0}

Definieren:

{displaystyle omega={sqrt {frac {1}{LC}}}}

Mit dieser Definition lautet die Differentialgleichung:

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}i(t)}{mathrm {d} t^{2}}} Omega ^{2}i(t)=0}

Geben Sie eine mögliche Lösung der Form ein

{displaystyle i(t)=e^{at}}

liefert mit Differenzierung und Straßenteilung von ${displaystyle e^{at}}$ eine Bedingung für ${Anzeigestil a}$ :

{displaystyle a^{2}omega ^{2}=0}

,

und so gibt es zwei lösungen dafür ${Anzeigestil a}$ :

{displaystyle a=jomega }

und

{displaystyle a=-jomega }

mit ${Anzeigestil j}$ das imaginäre Einheit.

Die vollständige Lösung der Differentialgleichung lautet:

{displaystyle i(t)=Ae^{ jomega t} Be^{-jomega t}}

Die Integrationskonstanten ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ folgen aus den Anfangsbedingungen (die Werte von ${Anzeigestil i}$ und ${Anzeigestil V}$ zum Zeitpunkt Null).