WikiDer > Тождество Лагранжа (краевая задача) - Википедия

При изучении обыкновенные дифференциальные уравнения и связанные с ними краевые задачи, Личность Лагранжа, названный в честь Жозеф Луи Лагранж, дает граничные члены, возникающие из интеграция по частям самосопряженного линейного дифференциальный оператор. Лагранж лежит в основе Теория Штурма – Лиувилля. Более чем в одной независимой переменной тождество Лагранжа обобщается следующим образом: Вторая личность Грина.

Заявление

В общих чертах тождество Лагранжа для любой пары функций ты и v в функциональное пространство C² (т.е. дважды дифференцируемые) в п размеры:^[1]

${ displaystyle vL [u] -uL ^ {*} [v] = nabla cdot { boldsymbol {M}},}$

куда:

${ displaystyle M_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} left (v { frac { partial u} { partial x_ {j}}} - u { frac { partial v} { partial x_ {j}}} right) + uv left (b_ {i} - sum _ {j = 1} ^ {n} { frac { partial a_ {ij}} { partial x_ {j}}} right),}$

и

${ displaystyle nabla cdot { boldsymbol {M}} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial} { partial x_ {i}}} M_ {i},}$

Оператор L и это сопряженный оператор L^* даны:

${ displaystyle L [u] = sum _ {i, j = 1} ^ {n} a_ {i, j} { frac { partial ^ {2} u} { partial x_ {i} partial x_ {j}}} + sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} { frac { partial u} { partial x_ {i}}} + cu}$

и

${ Displaystyle L ^ {*} [v] = sum _ {i, j = 1} ^ {n} { frac { partial ^ {2} (a_ {i, j} v)} { partial x_ {i} partial x_ {j}}} - sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial (b_ {i} v)} { partial x_ {i}}} + cv .}$

Если тождество Лагранжа интегрировано по ограниченной области, то теорема расходимости можно использовать для формирования Вторая личность Грина в виде:

${ displaystyle int _ { Omega} vL [u] d Omega = int _ { Omega} uL ^ {*} [v] d Omega + int _ {S} { boldsymbol {M cdot n}} , dS,}$

куда S поверхность, ограничивающая объем Ω и п это единица, направленная наружу нормально к поверхности S.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Любой второй заказ обыкновенное дифференциальное уравнение формы:

${ displaystyle a (x) { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + b (x) { frac {dy} {dx}} + c (x) y + lambda w (x) y = 0,}$

можно представить в виде:^[2]

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left (p (x) { frac {dy} {dx}} right) + left (q (x) + lambda w (x) right) ) y (x) = 0.}$

Эта общая форма мотивирует введение Оператор Штурма – Лиувилля L, определенная как операция над функцией ж такой, что:

${ displaystyle Lf = { frac {d} {dx}} left (p (x) { frac {df} {dx}} right) + q (x) f.}$

Можно показать, что для любого ты и v для которого существуют различные производные, Личность Лагранжа для обыкновенных дифференциальных уравнений выполняется:^[2]

${ displaystyle uLv-vLu = - { frac {d} {dx}} left [p (x) left (v { frac {du} {dx}} - u { frac {dv} {dx}) }верно-верно].}$

Для обыкновенных дифференциальных уравнений, определенных в интервале [0, 1], тождество Лагранжа можно проинтегрировать, чтобы получить интегральную форму (также известную как формула Грина):^[3][4][5][6]

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} dx (uLv-vLu) = left [p (x) left (u { frac {dv} {dx}} - v { frac {du) } {dx}} right) right] _ {0} ^ {1},}$

куда ${ Displaystyle п = п (х)}$, ${ Displaystyle д = Q (х)}$, ${ Displaystyle u = U (х)}$ и ${ Displaystyle v = В (х)}$ являются функциями ${ displaystyle x}$. ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ имеющая непрерывные вторые производные на интервал ${ Displaystyle [0,1]}$.

Доказательство формы обыкновенных дифференциальных уравнений

У нас есть:

${ displaystyle uLv = u left [{ frac {d} {dx}} left (p (x) { frac {dv} {dx}} right) + q (x) v right],}$

и

${ displaystyle vLu = v left [{ frac {d} {dx}} left (p (x) { frac {du} {dx}} right) + q (x) u right].}$

Вычитание:

${ displaystyle uLv-vLu = u { frac {d} {dx}} left (p (x) { frac {dv} {dx}} right) -v { frac {d} {dx}} left (p (x) { frac {du} {dx}} right).}$

Ведущие приумножили ты и v можно переместить внутри дифференциация, потому что дополнительные дифференцированные термины в ты и v одинаковы в двух вычитаемых членах и просто компенсируют друг друга. Таким образом,

${ displaystyle uLv-vLu = { frac {d} {dx}} left (p (x) u { frac {dv} {dx}} right) - { frac {d} {dx}} left (vp (x) { frac {du} {dx}} right),}$

${ displaystyle = { frac {d} {dx}} left [p (x) left (u { frac {dv} {dx}} - v { frac {du} {dx}} right) верно],}$

что и есть личность Лагранжа. Интегрируем от нуля до единицы:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} dx (uLv-vLu) = left [p (x) left (u { frac {dv} {dx}} - v { frac {du) } {dx}} right) right] _ {0} ^ {1},}$

как должно было быть показано.

Рекомендации