WikiDer > Группа фонарщиков

Lamplighter group

В математика, то группа фонарщиков L из теория групп ограниченный венок

Вступление

Название группы происходит от просмотра группы как действующей на вдвойне бесконечной последовательности уличных фонарей. каждый из которых может быть включен или выключен, а фонарщик стоя у какой-то лампы Эквивалентное описание для этого, называемое базовой группой из является

бесконечный прямая сумма копий циклической группы куда соответствует выключенному свету и соответствует горящему свету, и прямая сумма используется для гарантии того, что одновременно будет гореть только конечное количество огней. Элемент дает положение фонарщика, а чтобы закодировать, какие лампочки горят.

В группе два генератора: генератор т приращения k, чтобы фонарщик перешел к следующей лампе (т -1 уменьшает k), а генератор а означает, что состояние лампы лk изменяется (с выкл. на вкл. или с вкл. на выкл.) Групповое умножение выполняется "следуя" этим операциям.

Мы можем предположить, что в любой момент времени горит только конечное число ламп, поскольку действие любого элемента L меняет самое большее конечное количество ламп. Однако количество горящих ламп не ограничено. Таким образом, групповое действие похоже на действие Машина Тьюринга двумя способами. Машина Тьюринга имеет неограниченную память, но в любой момент времени использовала только конечный объем памяти. Более того, голова машины Тьюринга аналогична фонарщику.

Презентация

Стандарт презентация для группы фонарщиков возникает из структуры венка

, который можно упростить до
.

Генераторы а и т присущи заметным скорость роста, хотя иногда их заменяют на а и в, изменяя логарифм скорости роста не более чем в 2 раза.

Это представление не является конечным (у него бесконечно много отношений). На самом деле у группы фонарщиков нет конечного представления, то есть это не конечно представленный.

Матричное представление

Разрешение чтобы быть формальной переменной, группа фонарщиков изоморфна группе матриц

куда и пробегает все многочлены от [1]

Используя представленные выше представления, изоморфизм задается формулой

Обобщения

Также можно определить группы фонарщиков , с , так что "лампы" могут иметь больше, чем просто варианты "выключить" и "включить". Классическая группа фонарщиков восстанавливается при

Рекомендации

  1. ^ Клэй, Мэтт; Маргалит, Дан, ред. (2017-07-11). Часы работы офиса с теоретиком геометрической группы. Принстон, штат Нью-Джерси, Оксфорд: Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691158662.

дальнейшее чтение

  • Владимир Некрашевич, 2005 г., Самоподобные группы, Математические обзоры и монографии v. 117, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3831-8.