WikiDer > Закон котангенсов

Треугольник, показывающий «вписанную окружность» и разделение сторон. Биссектрисы угла пересекаются стимулятор, который является центром окружать.

По приведенным выше соображениям все шесть частей такие, как показано.

Тригонометрия
Контур История использование Функции (обратный) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы (обратные функции) Производные
v т е

В тригонометрия, то закон котангенсов^[1] представляет собой отношение между длинами сторон треугольника и котангенсом половин трех углов.

Так же, как три величины, равенство которых выражается закон синуса равны диаметру описанный круг треугольника (или его обратной величины, в зависимости от того, как выражается закон), поэтому закон котангенсов связывает радиус треугольника вписанный круг из треугольник (в inradius) к его сторонам и углам.

Заявление

Используя обычные обозначения для треугольника (см. Рисунок вверху справа), где а, б, c длины трех сторон, А, B, C - вершины, противоположные этим трем сторонам, α, β, γ - соответствующие углы в этих вершинах, s полупериметр, то есть s = а + б + c/2, и р - радиус вписанной окружности, закон котангенсы утверждает, что

${ displaystyle { frac { cot left ({ tfrac { alpha} {2}} right)} {sa}} = { frac { cot left ({ tfrac { beta} {2 }} right)} {sb}} = { frac { cot left ({ tfrac { gamma} {2}} right)} {sc}} = { frac {1} {r}} ,}$

и, кроме того, что inradius определяется как

${ displaystyle r = { sqrt { frac {(s-a) (s-b) (s-c)} {s}}} ,.}$

Доказательство

На верхнем рисунке точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника разбивают периметр на 6 отрезков, по 3 пары. В каждой паре отрезки одинаковой длины. Например, 2 сегмента, смежных с вершиной А равны. Если мы выберем по одному отрезку из каждой пары, их сумма будет полупериметром s. Примером этого являются сегменты, показанные на рисунке цветом. Два сегмента, составляющих красную линию, в сумме дают а, поэтому синий сегмент должен иметь длину s − а. Очевидно, что остальные пять сегментов также должны иметь длину s − а, s − б, или же s − c, как показано на нижнем рисунке.

Изучив рисунок и используя определение функции котангенса, мы имеем

${ displaystyle cot left ({ frac { alpha} {2}} right) = { frac {s-a} {r}} ,}$

и аналогично для двух других углов, доказывая первое утверждение.

Для второго - формулы inradius - мы начинаем с общая формула сложения:

${ Displaystyle кроватка (U + v + w) = { гидроразрыва { cot u + cot v + cot w- cot u cot v cot w} {1- cot u cot v- cot v cot w- cot w cot u}}.}$

Применение к детская кроватка(α/2 + β/2 + γ/2) = детская кроватка π/2 = 0, мы получаем:

${ displaystyle cot left ({ frac { alpha} {2}} right) cot left ({ frac { beta} {2}} right) cot left ({ frac { gamma} {2}} right) = cot left ({ frac { alpha} {2}} right) + cot left ({ frac { beta} {2}} right) + cot left ({ frac { gamma} {2}} right).}$

(Это также тройной котангенс)

Подставляя значения, полученные в первой части, получаем:

${ displaystyle { frac {(sa)} {r}} { frac {(sb)} {r}} { frac {(sc)} {r}} = { frac {sa} {r}} + { frac {sb} {r}} + { frac {sc} {r}} = { frac {3s-2s} {r}} = { frac {s} {r}}.}$

Умножение на р³/s дает значение р², доказывая второе утверждение.

Некоторые доказательства с использованием закона котангенсов

Ряд других результатов можно получить из закона котангенсов.

• Формула Герона. Обратите внимание, что площадь треугольника ABC также делится на 6 меньших треугольников, также на 3 пары, причем треугольники в каждой паре имеют одинаковую площадь. Например, два треугольника возле вершины А, являясь прямоугольными треугольниками шириной s − а и высота р, каждый имеет площадь 1/2р(s − а). Итак, эти два треугольника вместе имеют площадь р(s − а), а площадь S всего треугольника поэтому

${ Displaystyle { begin {align} S & = r (sa) + r (sb) + r (sc) = r { bigl (} 3s- (a + b + c) { bigr)} = r (3s -2s) = rs [8pt] end {align}}}$

Это дает результат

S = √s(s − а)(s − б)(s − c)

как требуется.

• Первая формула Моллвейде. Из формулы сложения и закона котангенсов имеем

${ displaystyle { frac { sin left ({ tfrac { alpha} {2}} - { tfrac { beta} {2}} right)} { sin left ({ tfrac { alpha} {2}} + { tfrac { beta} {2}} right)}} = { frac { cot left ({ tfrac { beta} {2}} right) - cot left ({ tfrac { alpha} {2}} right)} { cot left ({ tfrac { beta} {2}} right) + cot left ({ tfrac { alpha } {2}} right)}} = { frac {ab} {2s-ab}}.}.$

Это дает результат

${ displaystyle { dfrac {ab} {c}} = { dfrac { sin left ({ tfrac { alpha} {2}} - { tfrac { beta} {2}} right)} { cos left ({ tfrac { gamma} {2}} right)}}}$

как требуется.

• Вторая формула Моллвейде. Из формулы сложения и закона котангенсов имеем

${ displaystyle { begin {align} & { frac { cos left ({ tfrac { alpha} {2}} - { tfrac { beta} {2}} right)} { cos left ({ tfrac { alpha} {2}} + { tfrac { beta} {2}} right)}} = { frac { cot left ({ tfrac { alpha} {2} } right) cot left ({ tfrac { beta} {2}} right) +1} { cot left ({ tfrac { alpha} {2}} right) cot left ({ tfrac { beta} {2}} right) -1}} [6pt] = {} & { frac { cot left ({ tfrac { alpha} {2}} right ) + cot left ({ tfrac { beta} {2}} right) +2 cot left ({ tfrac { gamma} {2}} right)} { cot left ({ tfrac { alpha} {2}} right) + cot left ({ tfrac { beta} {2}} right)}} = { frac {4s-ab-2c} {2s-ab }}. end {выровнены}}}$

Здесь требуется дополнительный шаг для преобразования продукта в сумму в соответствии с формулой сумма / продукт.

Это дает результат

${ displaystyle { dfrac {b + a} {c}} = { dfrac { cos left ({ tfrac { alpha} {2}} - { tfrac { beta} {2}} right) )} { sin left ({ tfrac { gamma} {2}} right)}}}$

как требуется.

• В закон касательных также можно вывести из этого (Сильвестр 2001, п. 99).

Смотрите также

• Закон синусов
• Закон косинусов
• Закон касательных
• Формула Моллвейде

Рекомендации