WikiDer > Представление слоеного торта

В математика, то представление слоеного пирога не-отрицательный, настоящий-ценный измеримая функция ж определено на измерить пространство ${displaystyle (Omega, {mathcal {A}}, mu)}$ формула

${displaystyle f (x) = int _ {0} ^ {infty} 1_ {L (f, t)} (x), mathrm {d} t,}$

для всех ${displaystyle xin Omega}$, где ${displaystyle 1_ {E}}$ обозначает индикаторная функция подмножества ${displaystyle Esubseteq Omega}$ и ${displaystyle L (f, t)}$ обозначает супер-набор уровней

${displaystyle L (f, t) = {yin Omega mid f (y) geq t}.}$

Представление слоеного пирога легко следует из наблюдения, что

${displaystyle 1_ {L (f, t)} (x) = 1 _ {[0, f (x)]} (t)}$

а затем по формуле

${displaystyle f (x) = int _ {0} ^ {f (x)}, mathrm {d} t.}$

В слоеный пирог представление берет свое имя от представления значения ${displaystyle f (x)}$ как сумма вкладов «слоев» ${displaystyle L (f, t)}$: "слои" / значения т ниже ${displaystyle f (x)}$ вносят вклад в интеграл, а значения т над ${displaystyle f (x)}$ не.

Важным следствием представления слоеного пирога является идентичность

${displaystyle int _ {Omega} f (x), mathrm {d} mu (x) = int _ {0} ^ {infty} mu ({xin Omega mid f (x)> t}), mathrm {d} t ,}$

что следует из него применением Теорема Фубини-Тонелли.

Важным приложением является то, что ${displaystyle L ^ {p}}$ за ${displaystyle 1leq p <+ infty}$ можно записать следующим образом

${displaystyle int _ {Omega} | f (x) | ^ {p}, mathrm {d} mu (x) = pint _ {0} ^ {infty} s ^ {p-1} mu ({xin Omega mid, | f (x) |> s}) mathrm {d} s,}$

что непосредственно следует из замены переменных ${displaystyle t = s ^ {p}}$ в представлении слоеного пирога ${displaystyle | f (x) | ^ {p}}$.

Смотрите также

• Симметричная убывающая перестановка

Рекомендации

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна – Минковского». Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 39 (3): 355–405 (электронный). Дои:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.
• Либ, Эллиотт; Потеря, Майкл (2001). Анализ. Аспирантура по математике. 14 (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-0821827833.