WikiDer > Интеграция чехарда

Leapfrog integration

В числовой анализ, чехарда интеграции это метод для численного интегрирования дифференциальные уравнения формы

,

или эквивалентно формы

,

особенно в случае динамическая система из классическая механика.

Этот метод известен под разными названиями в разных дисциплинах. В частности, он похож на скорость Верле метод, который является вариантом Интеграция Верле. Интеграция Leapfrog эквивалентна обновлению позиций и скорости в чередующиеся моменты времени, смещенные таким образом, что они "чехарда"друг над другом.

Интеграция Leapfrog - метод второго порядка, в отличие от Интегрирование Эйлера, который является только первым порядком, но требует того же количества вычислений функции на шаг. В отличие от интегрирования Эйлера, оно устойчиво для колебательного движения, пока шаг по времени постоянно, и .[1]

Используя коэффициенты Йошиды, многократно применяя интегратор чехарда с правильными временными шагами, можно сгенерировать интегратор гораздо более высокого порядка.

Алгоритм

При интегрировании чехарда уравнения для обновления положения и скорости следующие:

куда позиция на шаге , скорость или первая производная от , на шаге , это ускорение или вторая производная от , на шаге , и размер каждого временного шага. Эти уравнения можно выразить в форме, которая также дает скорость с целыми шагами:[2]

Однако даже в этой синхронизированной форме временной шаг должен быть постоянным, чтобы поддерживать стабильность.[3]

Синхронизированная форма может быть преобразована в форму «кик-дрифт-кик»;

который в основном используется там, где требуются переменные временные шаги. Разделение расчета ускорения на начало и конец шага означает, что при увеличении разрешения по времени в два раза (), то требуется только одно дополнительное (затратное в вычислительном отношении) вычисление ускорения.

Одно из применений этого уравнения - моделирование силы тяжести, поскольку в этом случае ускорение зависит только от положения гравитирующих масс (а не от их скоростей), хотя интеграторы более высокого порядка (такие как Методы Рунге – Кутты) используются чаще.

Применительно к задачам механики резкая интеграция имеет два основных преимущества. Первый - это обратимость во времени метода чехарды. Можно интегрироваться вперед п шаги, а затем измените направление интеграции и интегрируйте в обратном направлении п шаги для достижения той же исходной позиции. Вторая сила - это симплектический природа, что означает, что он сохраняет (слегка измененную) энергию динамических систем. Это особенно полезно при вычислении орбитальной динамики, как и во многих других схемах интегрирования, таких как (порядок-4) Рунге-Кутта метод, не экономят энергию и позволяют системе существенно дрейфовать с течением времени.

Из-за его обратимости во времени и потому, что это симплектический интегратор, интеграция чехарда также используется в Гамильтониан Монте-Карло, метод построения случайных выборок из распределения вероятностей, общая нормализация которого неизвестна.[4]

Алгоритмы Ёсида

Интегратор чехарда может быть преобразован в интеграторы более высокого порядка с использованием методов, связанных с Харуо Ёсида. В этом подходе чехарда применяется к нескольким различным временным шагам. Оказывается, что при последовательном использовании правильных временных шагов ошибки устраняются и могут быть легко получены интеграторы гораздо более высокого порядка.[5][6]

Интегратор Йошида 4-го порядка

Один шаг в интеграторе Yoshida 4-го порядка требует четырех промежуточных шагов. Положение и скорость вычисляются в разное время. Требуется только три (дорогостоящих в вычислительном отношении) расчета ускорения.

Уравнения для интегратора 4-го порядка для обновления положения и скорости:

куда - начальная позиция и скорость, промежуточное положение и скорость на промежуточном этапе , это ускорение в положении , и - конечное положение и скорость при одном шаге Ёсида 4-го порядка.

Коэффициенты и получены в [6] (см. уравнение (4.6))

Все промежуточные шаги образуют единый шаг, который подразумевает, что сумма коэффициентов равна единице: и . Обратите внимание, что положение и скорость вычисляются в разное время, а некоторые промежуточные шаги выполняются назад во времени. Чтобы проиллюстрировать это, мы приводим численные значения коэффициенты:

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ К. К. Бердсолл и А. Б. Лэнгдон, Физика плазмы с помощью компьютерного моделирования, McGraw-Hill Book Company, 1985, стр. 56.
  2. ^ 4.1 Два способа написать чехарда
  3. ^ Скил, Р. Д., «Переменный размер шага дестабилизирует метод Стёмера / Чехарда / Верле», BIT вычислительная математика, Vol. 33, 1993, с. 172–175.
  4. ^ Епископ, Кристофер (2006). Распознавание образов и машинное обучение. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 548–554. ISBN 978-0-387-31073-2.
  5. ^ http://www.artcompsci.org/kali/vol/two_body_problem_2/ch07.html#rdocsect46
  6. ^ а б Том 150, номер 5,6,7 ФИЗИЧЕСКИЕ ПИСЬМА A 12 ноября 1990 г. Строительство симплектических интеграторов более высокого порядка. Национальная астрономическая обсерватория Харуо Йошида, Митака, Токио

внешняя ссылка

  • [1], Физика Дрексельского университета