WikiDer > Теорема Левицкого - Википедия

Levitzkys theorem - Wikipedia

В математика, более конкретно теория колец и теория нулевые идеалы, Теорема Левицкого, названный в честь Яков Левицки, заявляет, что в праве Кольцо Нётериана, каждый ниль-односторонний идеал обязательно нильпотентный.[1][2] Теорема Левицкого - один из многих результатов, свидетельствующих о достоверности Гипотеза Кете, и действительно предоставил решение одного из вопросов Кете, как описано в (Левицки 1945). Результат был первоначально представлен в 1939 году как (Левицки 1950), а особенно простое доказательство дано в (Утуми 1963).

Доказательство

Это аргумент Утуми, как он представлен в (Лам 2001, п. 164–165)

Лемма[3]

Предположить, что р удовлетворяет условие возрастающей цепи на аннигиляторы формы куда а в р. потом

  1. Любой ниль-односторонний идеал содержится в нижнем ниль-радикале Nil*(р);
  2. Каждый ненулевой правый нильпотентный идеал содержит ненулевой правый нильпотентный идеал.
  3. Каждый ненулевой левый идеал содержит ненулевой нильпотентный левый идеал.
Теорема Левицки [4]

Позволять р быть правильным нётеровым кольцом. Тогда каждый ниль-односторонний идеал р нильпотентен. В этом случае верхний и нижний нильрадикалы равны, и, кроме того, этот идеал является наибольшим нильпотентным идеалом среди нильпотентных правых идеалов и среди нильпотентных левых идеалов.

Доказательство: Ввиду предыдущей леммы достаточно показать, что нижний нильрадикал р нильпотентен. Потому что р является правильным нётеровым, максимальный нильпотентный идеал N существуют. По максимальности N, фактор-кольцо р/N не имеет ненулевых нильпотентных идеалов, поэтому р/N это полупервичное кольцо. Как результат, N содержит нижний нильрадикал из р. Поскольку нижний нильрадикал содержит все нильпотентные идеалы, он также содержит N, и так N равен нижнему нильрадикалу. Q.E.D.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Херштейн 1968, п. 37, теорема 1.4.5
  2. ^ Айзекс 1993, п. 210, теорема 14.38
  3. ^ Лам 2001, Лемма 10.29.
  4. ^ Лам 2001, Теорема 10.30.

Рекомендации

  • Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, аспирантура (1-е изд.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
  • Герштейн, И. (1968), Некоммутативные кольца (1-е изд.), Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-015-X
  • Лам, Т. (2001), Первый курс в некоммутативных кольцах, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95183-6
  • Левицки Дж. (1950), «О мультипликативных системах», Compositio Mathematica, 8: 76–80, МИСТЕР 0033799.
  • Левицки, Якоб (1945), «Решение проблемы Г. Кете», Американский журнал математики, Издательство Университета Джона Хопкинса, 67 (3): 437–442, Дои:10.2307/2371958, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371958, МИСТЕР 0012269
  • Утуми, Юзо (1963), "Математические заметки: Теорема Левицки", Американский математический ежемесячник, Математическая ассоциация Америки, 70 (3): 286, Дои:10.2307/2313127, HDL:10338.dmlcz / 101274, ISSN 0002-9890, JSTOR 2313127, МИСТЕР 1532056