WikiDer > Линейная система делителей

Linear system of divisors
А линейная система делителей алгебраизирует классическое геометрическое понятие семейство кривых, как в Аполлонические круги.

В алгебраическая геометрия, а линейная система делителей является алгебраическим обобщением геометрического понятия семейство кривых; размерность линейной системы соответствует количеству параметров семейства.

Сначала они возникли в виде линейная система из алгебраические кривые в проективная плоскость. Через постепенное обобщение он принял более общую форму, так что можно было говорить о линейная эквивалентность из делители D на общем схема или даже окольцованное пространство (Икс, ОИкс).[1]

Линейные системы размерности 1, 2 или 3 называются карандаш, а сеть, или сеть, соответственно.

Отображение, определяемое линейной системой, иногда называют Карта Кодаира.

Определение

Учитывая фундаментальную идею рациональная функция на общем разнообразии , или другими словами функции в функциональное поле из , , делители находятся линейно эквивалентные дивизоры если

куда обозначает делитель нулей и полюсов функции .

Обратите внимание, что если имеет особые точки, 'divisor' по своей природе неоднозначен (Делители Картье, Дивизоры Вейля: видеть дивизор (алгебраическая геометрия)). Определение в этом случае обычно произносится с большей осторожностью (используя обратимые связки или же голоморфные линейные расслоения); Смотри ниже.

А полная линейная система на определяется как множество всех эффективных дивизоров, линейно эквивалентных некоторому заданному дивизору . Обозначается . Позволять быть линейным пучком, связанным с . В случае, если является неособым проективным многообразием множество находится в естественной биекции с [2][требуется дальнейшее объяснение] и поэтому является проективным пространством.

А линейная система тогда является проективным подпространством полной линейной системы, поэтому ему соответствует векторное подпространство W из Размерность линейной системы это его размерность как проективного пространства. Следовательно .

Поскольку класс дивизоров Картье является классом изоморфизма линейного расслоения, линейные системы также могут быть введены с помощью линейный пакет или же обратимая связка язык, вообще без ссылки на делители. Таким образом, делители (Делители Картье, а точнее) соответствуют линейным пучкам, а линейная эквивалентность двух дивизоров означает, что соответствующие линейные расслоения изоморфны.

Примеры

Линейная эквивалентность

Рассмотрим линейный пучок на чьи разделы определяют квадратичные поверхности. Для ассоциированного дивизора , он линейно эквивалентен любому другому дивизору, определяемому множеством исчезающих используя рациональную функцию [2] (Предложение 7.2). Например, делитель связанный с исчезающим локусом линейно эквивалентно дивизору связанный с исчезающим локусом . Тогда имеется эквивалентность дивизоров

Линейные системы на кривых

Одна из важных полных линейных систем на алгебраической кривой рода задается полной линейной системой, связанной с каноническим дивизором , обозначенный . Это определение следует из предложения II.7.7 Хартсхорна.[2] так как каждый эффективный делитель в линейной системе происходит из нулей некоторого участка .

Гиперэллиптические кривые

Одно приложение линейных систем используется при классификации алгебраических кривых. А гиперэллиптическая кривая кривая с конечной степенью морфизм .[2] По делу все кривые гиперэллиптические: Теорема Римана – Роха затем дает степень является и , следовательно, существует степень сопоставить с .

граммрd

А линейная система на кривой который имеет степень и размер . Например, гиперэллиптические кривые имеют поскольку определяет один. На самом деле гиперэллиптические кривые обладают уникальным [2] из предложения 5.3. Другой близкий набор примеров - кривые с которые называются тригональные кривые. Фактически, любая кривая имеет за .[3]

Линейные системы гиперповерхностей в

Рассмотрим линейный пучок над . Если взять глобальные разделы , то можно взять его проективизацию . Это изоморфно куда

Затем, используя любое вложение мы можем построить линейную систему измерений .

Линейная система коников

Другие примеры

В Теорема Кэли – Бахараха является свойством пучка кубик, которое утверждает, что базовое множество удовлетворяет свойству «8 влечет 9»: любая кубика, содержащая 8 точек, обязательно содержит 9-ю.

Линейные системы в бирациональной геометрии

В целом линейные системы стали основным инструментом бирациональная геометрия как это практикуется Итальянская школа алгебраической геометрии. Технические требования стали довольно жесткими; более поздние события прояснили ряд вопросов. Вычисление соответствующих размерностей - проблему Римана – Роха, как ее можно назвать - можно лучше сформулировать в терминах гомологическая алгебра. Эффект от работы над сортами с особые точки показать разницу между Дивизоры Вейлясвободная абелева группа порожденные подмногообразиями коразмерности один), и Делители Картье исходящий из секций обратимые связки.

Итальянская школа любила сокращать геометрию на алгебраическая поверхность линейным системам, вырезанным поверхностями в трехмерном пространстве; Зарисский написал свою знаменитую книгу Алгебраические поверхности попытаться собрать воедино методы, включающие линейные системы с фиксированными базовыми точками. Был спор, один из последних вопросов в конфликте между «старой» и «новой» точками зрения в алгебраической геометрии, по поводу Анри Пуанкарес характеристическая линейная система алгебраического семейства кривых на алгебраической поверхности.

Базовый локус

В базовый локус линейной системы дивизоров на разнообразие относится к подмногообразию точек, «общих» для всех дивизоров линейной системы. Геометрически это соответствует общему пересечению разновидностей. Линейные системы могут иметь базовое геометрическое место, а могут и не иметь - например, пучок аффинных линий. не имеет общего пересечения, но учитывая две (невырожденные) коники в комплексной проективной плоскости, они пересекаются в четырех точках (считая с кратностью), и, таким образом, пучок, который они определяют, имеет эти точки в качестве базового множества.

Точнее, предположим, что - полная линейная система дивизоров на некотором многообразии . Рассмотрим пересечение

куда обозначает носитель дивизора, а пересечение берется по всем эффективным дивизорам в линейной системе. Это базовый локус из (по крайней мере, в комплекте: могут быть более тонкие схемотехнический соображения относительно того, что структурная связка из должно быть).

Одно из применений понятия базового локуса - нефнесс класса дивизоров Картье (т. е. полной линейной системы). Предполагать такой класс по разнообразию , и неприводимая кривая на . Если не содержится в базовом локусе , то существует некоторый дивизор в классе, не содержащем , и поэтому правильно пересекает его. Основные факты из теории пересечений говорят нам, что мы должны иметь . Вывод состоит в том, что для проверки нефтеносности класса делителей достаточно вычислить число пересечений с кривыми, содержащимися в базовом множестве класса. Итак, грубо говоря, чем «меньше» базовый локус, тем «более вероятно», что класс будет nef.

В современной формулировке алгебраической геометрии полная линейная система дивизоров (Картье) на многообразии рассматривается как линейный пучок на . С этой точки зрения базовый локус - множество общих нулей всех сечений . Простое следствие состоит в том, что пучок глобально созданный тогда и только тогда, когда базовый локус пуст.

Понятие базового множества по-прежнему имеет смысл и для неполной линейной системы: его базовое множество по-прежнему является пересечением носителей всех эффективных дивизоров в системе.

Пример

Рассмотрим Карандаш Лефшеца заданный двумя общими разделами , так данный по схеме

С этим связана линейная система дивизоров, поскольку каждый многочлен, для фиксированного является делителем в . Тогда базисное множество этой системы дивизоров - это схема, заданная множеством исчезающих , так

Карта, определяемая линейной системой

Каждая линейная система на алгебраическом многообразии определяет морфизм из дополнения базового множества в проективное пространство размерности системы следующим образом. (В некотором смысле верно и обратное; см. Раздел ниже)

Позволять L линейное расслоение на алгебраическом многообразии Икс и конечномерное векторное подпространство. Для наглядности сначала рассмотрим случай, когда V не содержит базовых точек; другими словами, естественная карта сюръективно (здесь k = базовое поле). Или, что то же самое, сюръективно. Следовательно, написание для тривиального векторного расслоения и переходя сюръекцию к относительный проект, Существует закрытое погружение:

куда справа - инвариантность проективный пучок под скрутку линейной связкой. Следующий я по проекции получается карта:[4]

Когда базовый локус V не пусто, вышеупомянутое обсуждение все еще продолжается с в прямой сумме заменяется пучком идеалов, определяющим базовое геометрическое место, и Икс заменен взрывом его вдоль (теоретико-схемного) базового множества B. Точно так же, как и выше, есть сюрприз куда идеальный пучок B и это дает начало

С открытое подмножество , на карте появится:

Наконец, когда в основе V Если выбрано, приведенное выше обсуждение становится более приземленным (и это стиль, используемый в Hartshorne, Algebraic Geometry).

Линейная система, определяемая отображением в проективное пространство

Каждый морфизм алгебраического многообразия в проективное пространство определяет линейную систему без базовых точек на многообразии; из-за этого линейная система без базовых точек и карта проективного пространства часто используются как взаимозаменяемые.

Для закрытого погружения алгебраических многообразий существует возврат линейной системы на к , определяется как [2] (стр. 158).

O (1) на проективном многообразии

Проективное разнообразие встроенный в имеет каноническую линейную систему, определяющую отображение в проективное пространство из . Это отправляет точку в соответствующую точку .

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан. EGA IV, 21.3.
  2. ^ а б c d е ж Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия», предложение II.7.2, стр. 151, предложение II.7.7, стр. 157, стр. 158, упражнение IV.1.7, стр. 298, предложение IV.5.3, стр. 342
  3. ^ Клейман, Стивен Л .; Лаксов, Дан (1974). «Еще одно доказательство существования специальных делителей». Acta Mathematica. 132: 163–176. Дои:10.1007 / BF02392112. ISSN 0001-5962.
  4. ^ Фултон, § 4.4.
  • П. Гриффитс; Дж. Харрис (1994). Принципы алгебраической геометрии. Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. п. 137. ISBN 0-471-05059-8.
  • Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия, Springer-Verlag, 1977; 6-е издание исправленное, 1993 г. ISBN 0-387-90244-9.
  • Лазарсфельд, Р., Положительность в алгебраической геометрии I, Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-22533-1.