WikiDer > Линейно непересекающиеся

В математике алгебры А, B над полем k внутри некоторого расширения поля ${ displaystyle Omega}$ из k как говорят линейно не пересекаются k если выполняются следующие эквивалентные условия:

• (i) Карта ${ displaystyle A otimes _ {k} B to AB}$ индуцированный ${ Displaystyle (х, у) mapsto xy}$ инъективно.
• (ii) Любые k-базис А остается линейно независимым над B.
• (iii) Если ${ displaystyle u_ {i}, v_ {j}}$ находятся k-основы для А, B, то продукты ${ displaystyle u_ {i} v_ {j}}$ линейно независимы над k.

Заметим, что, поскольку каждая подалгебра в ${ displaystyle Omega}$ является областью, (i) влечет ${ displaystyle A otimes _ {k} B}$ это домен (в частности уменьшенный). И наоборот, если А и B поля и либо А или же B является алгебраическим расширением k и ${ displaystyle A otimes _ {k} B}$ это домен, то это поле и А и B линейно не пересекаются. Однако есть примеры, когда ${ displaystyle A otimes _ {k} B}$ это домен, но А и B не являются линейно непересекающимися: например, А=B=k(т) поле рациональных функций над k.

Также есть: А, B линейно не пересекаются над k тогда и только тогда, когда подполя ${ displaystyle Omega}$ создано ${ displaystyle A, B}$, соотв. линейно не пересекаются над k. (ср. тензорное произведение полей)

Предполагать А, B линейно не пересекаются над k. Если ${ Displaystyle A ' подмножество A}$, ${ displaystyle B ' subset B}$ являются подалгебрами, то ${ displaystyle A '}$ и ${ displaystyle B '}$ линейно не пересекаются над k. Наоборот, если любые конечно порожденные подалгебры алгебр А, B линейно не пересекаются, то А, B линейно не пересекаются (поскольку в условии участвуют только конечные наборы элементов).

Смотрите также

• Тензорное произведение полей

Рекомендации

• ВЕЧЕРА. Кон (2003). Базовая алгебра

Этот алгебра-связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это. v т е