WikiDer > Редукция Ляпунова – Шмидта.

Lyapunov–Schmidt reduction

В математике Редукция Ляпунова – Шмидта. или Конструкция Ляпунова – Шмидта. используется для исследования решений нелинейных уравнений в случае, когда теорема о неявной функции не работает. Он позволяет свести бесконечномерные уравнения в банаховых пространствах к конечномерным. Он назван в честь Александр Ляпунов и Эрхард Шмидт.

Настройка проблемы

Позволять

{ Displaystyle е (х, лямбда) = 0 ,}

- заданное нелинейное уравнение, ${ displaystyle X, Lambda,}$ и ${ displaystyle Y}$ находятсяБанаховы пространства ( ${ displaystyle Lambda}$ - пространство параметров). ${ Displaystyle е (х, лямбда)}$ это ${ displaystyle C ^ {p}}$ -карта из окрестностей некоторой точки ${ displaystyle (x_ {0}, lambda _ {0}) in X times Lambda}$ к ${ displaystyle Y}$ и в этой точке выполняется уравнение

{ displaystyle f (x_ {0}, lambda _ {0}) = 0.}

Для случая, когда линейный оператор ${ displaystyle f_ {x} (x, lambda)}$ обратима, теорема о неявной функции уверяет, что существует решение ${ Displaystyle х ( лямбда)}$ удовлетворяющий уравнению ${ Displaystyle е (х ( лямбда), лямбда) = 0}$ по крайней мере, локально близко к ${ displaystyle lambda _ {0}}$ .

В противном случае, когда линейный оператор ${ displaystyle f_ {x} (x, lambda)}$ необратима, редукцию Ляпунова – Шмидта можно применить следующим образом.

Предположения

Предполагается, что оператор ${ displaystyle f_ {x} (x, lambda)}$ это Фредгольмов оператор.

${ displaystyle ker f_ {x} (x_ {0}, lambda _ {0}) = X_ {1}}$ и ${ displaystyle X_ {1}}$ имеет конечную размерность.

В классифицировать этого оператора ${ displaystyle mathrm {ran} f_ {x} (x_ {0}, lambda _ {0}) = Y_ {1}}$ имеет конечный совместное измерение и - замкнутое подпространство в ${ displaystyle Y}$ .

Без ограничения общности можно считать, что ${ displaystyle (x_ {0}, lambda _ {0}) = (0,0).}$

Конструкция Ляпунова – Шмидта.

Давайте разделим ${ displaystyle Y}$ в прямой продукт ${ Displaystyle Y = Y_ {1} oplus Y_ {2}}$ , куда ${ displaystyle dim Y_ {2} < infty}$ .

Позволять ${ displaystyle Q}$ быть оператор проекции на ${ displaystyle Y_ {1}}$ .

Рассмотрим также прямой продукт ${ Displaystyle X = X_ {1} oplus X_ {2}}$ .

Применение операторов ${ displaystyle Q}$ и ${ displaystyle I-Q}$ к исходному уравнению, получаем эквивалентную систему

{ Displaystyle Qf (х, лямбда) = 0 ,}

{ Displaystyle (I-Q) е (х, лямбда) = 0 ,}

Позволять ${ displaystyle x_ {1} in X_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2} in X_ {2}}$ , то первое уравнение

{ Displaystyle Qf (x_ {1} + x_ {2}, lambda) = 0 ,}

можно решить относительно ${ displaystyle x_ {2}}$ применяя теорему о неявной функции к оператору

{ displaystyle Qf (x_ {1} + x_ {2}, lambda): quad X_ {2} times (X_ {1} times Lambda) to Y_ {1} ,}

(теперь условия теоремы о неявной функции выполнены).

Таким образом, существует единственное решение ${ displaystyle x_ {2} (x_ {1}, lambda)}$ удовлетворение

{ Displaystyle Qf (x_ {1} + x_ {2} (x_ {1}, lambda), lambda) = 0. ,}

Теперь подставляем ${ displaystyle x_ {2} (x_ {1}, lambda)}$ во второе уравнение получаем окончательное конечномерное уравнение

{ Displaystyle (I-Q) е (x_ {1} + x_ {2} (x_ {1}, lambda), lambda) = 0. ,}

Действительно, последнее уравнение теперь конечномерно, так как диапазон значений ${ Displaystyle (I-Q)}$ конечномерна. Теперь это уравнение необходимо решить относительно ${ displaystyle x_ {1}}$ , которая является конечномерной, и параметры: ${ displaystyle lambda}$

Приложения

Редукция Ляпунова – Шмидта используется в экономике, естествознании и технике.^[1] часто в сочетании с теория бифуркации, теория возмущений, и регуляризация.^[1]^[2]^[3] Снижение LS часто используется для строгой регуляризации уравнение в частных производных модели в химическая инженерия в результате модели, которые легче моделировать численно но при этом сохраните все параметры исходной модели.^[3]^[4]^[5]

Рекомендации

^ ^а ^б Сидоров, Николай (2011). Методы Ляпунова-Шмидта в нелинейном анализе и приложениях. Springer. ISBN 9789048161508. OCLC 751509629.
^ Голубицкий, Мартин; Шеффер, Дэвид Г. (1985), «Бифуркация Хопфа», Прикладные математические науки, Springer New York, стр. 337–396, Дои:10.1007/978-1-4612-5034-0_8, ISBN 9781461295334
^ ^а ^б Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (январь 2009 г.). «Линейный анализ устойчивости высоко- и низкоразмерных моделей для описания формирования структуры с ограниченным перемешиванием в гомогенных автокаталитических реакторах». Журнал химической инженерии. 145 (3): 399–411. Дои:10.1016 / j.cej.2008.08.025. ISSN 1385-8947.
^ Балакотайя, Вемури (март 2004 г.). «Усредненные гиперболические модели для описания эффектов дисперсии в хроматографах и реакторах». Корейский журнал химической инженерии. 21 (2): 318–328. Дои:10.1007 / bf02705415. ISSN 0256-1115.
^ Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (19 января 2008 г.). «Динамическое моделирование образования узора с ограниченным перемешиванием в гомогенных автокаталитических реакциях». Химический продукт и моделирование процессов. 3 (2). Дои:10.2202/1934-2659.1135. ISSN 1934-2659.

Библиография

Луи Ниренберг, Темы нелинейного функционального анализа, New York Univ. Конспект, 1974.
Александр Ляпунов, Sur les fig d’équilibre peu différents des ellipsoides d’une masse liquide homogène douée d’un mouvement de Rotation, Zap. Акад. СПб. (1906), 1–225.
Александр Ляпунов, Problème général de la stabilité du mouvement, Ann. Фак. Sci. Тулуза 2 (1907), 203–474.
Эрхард Шмидт, Zur Theory der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, 3 Teil, Math. Аннален 65 (1908), 370–399.

[:0-1] а ^б Сидоров, Николай (2011). Методы Ляпунова-Шмидта в нелинейном анализе и приложениях. Springer. ISBN 9789048161508. OCLC 751509629.

[2] Голубицкий, Мартин; Шеффер, Дэвид Г. (1985), «Бифуркация Хопфа», Прикладные математические науки, Springer New York, стр. 337–396, Дои:10.1007/978-1-4612-5034-0_8, ISBN 9781461295334

[Gupta_399–411-3] а ^б Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (январь 2009 г.). «Линейный анализ устойчивости высоко- и низкоразмерных моделей для описания формирования структуры с ограниченным перемешиванием в гомогенных автокаталитических реакторах». Журнал химической инженерии. 145 (3): 399–411. Дои:10.1016 / j.cej.2008.08.025. ISSN 1385-8947.

[4] Балакотайя, Вемури (март 2004 г.). «Усредненные гиперболические модели для описания эффектов дисперсии в хроматографах и реакторах». Корейский журнал химической инженерии. 21 (2): 318–328. Дои:10.1007 / bf02705415. ISSN 0256-1115.

[5] Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (19 января 2008 г.). «Динамическое моделирование образования узора с ограниченным перемешиванием в гомогенных автокаталитических реакциях». Химический продукт и моделирование процессов. 3 (2). Дои:10.2202/1934-2659.1135. ISSN 1934-2659.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Navigation