WikiDer > Сфероид Маклорена - Википедия
А Сфероид маклорена сжатый сфероид которая возникает, когда самогравитирующее жидкое тело однородной плотности вращается с постоянной угловой скоростью. Этот сфероид назван в честь Шотландский математик Колин Маклорен, который сформулировал его для формы земной шар в 1742 г.[1] На самом деле фигура Земли гораздо менее сжатая, чем предполагает формула Маклорена, поскольку Земля не однородна, а имеет плотное железное ядро. Сфероид Маклорена считается простейшей моделью вращающихся эллипсоидальных фигур в состоянии равновесия, поскольку он предполагает однородную плотность.
Формула маклорена
Для сфероид с большой экваториальной полуосью и полярная малая полуось , угловая скорость о дается формулой Маклорена[2]
куда это эксцентриситет меридиональных сечений сфероида, это плотность и это гравитационная постоянная. Формула предсказывает две возможные фигуры равновесия, когда , один - сфера (), а другой - очень сплюснутый сфероид (). Максимальная угловая скорость достигается при эксцентриситете и его ценность , так что выше этой скорости фигур равновесия не существует. Угловой момент является
куда масса сфероида и это средний радиус, радиус сферы того же объема, что и сфероид.
Стабильность
Для сфероида Маклорена с эксцентриситетом более 0,812670,[3] а Эллипсоид Якоби того же углового момента имеет меньшую полную энергию. Если такой сфероид состоит из вязкой жидкости и если он подвергается возмущению, нарушающему его вращательную симметрию, то он будет постепенно вытягиваться в эллипсоидную форму Якоби, рассеивая свою избыточную энергию в виде тепла. Это называется вековая нестабильность. Однако для подобного сфероида, состоящего из невязкой жидкости, возмущение просто приведет к незатухающим колебаниям. Это описывается как динамичный (или же обычный) стабильность.
Сфероид Маклорена с эксцентриситетом более 0,952887[3] динамически нестабилен. Даже если оно состоит из невязкой жидкости и не имеет средств потери энергии, подходящее возмущение будет расти (по крайней мере, вначале) экспоненциально. Динамическая нестабильность подразумевает вековую нестабильность (а вековая стабильность подразумевает динамическую стабильность).[4]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Маклорен, Колин. Трактат о колебаниях: в двух книгах. 1. Vol. 1. Руддиманс, 1742.
- ^ Чандрасекар, Субраманян. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Vol. 10. Нью-Хейвен: издательство Йельского университета, 1969.
- ^ а б Пуассон, Эрик; Уилл, Клиффорд (2014). Гравитация: ньютоновская, постньютоновская, релятивистская. Издательство Кембриджского университета. С. 102–104. ISBN 978-1107032866.
- ^ Литтлтон, Раймонд Артур (1953). Устойчивость вращающихся жидких масс. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781316529911.