WikiDer > Модель Маджумдара – Гоша - Википедия

В Модель Маджумдара – Гоша является одномерным квант Модель спина Гейзенберга в котором антиферромагнитное обменное взаимодействие между ближайшими соседями вдвое сильнее, чем взаимодействие следующих ближайших соседей. Это частный случай более общего ${ displaystyle J_ {1}}$-${ displaystyle J_ {2}}$ модель, с ${ displaystyle J_ {1} = 2J_ {2}}$. Модель названа в честь индийских физиков. Чанчал Кумар Маджумдар и Дипан Гош.^[1]

Модель Маджумдара – Гоша примечательна тем, что ее основные состояния (квантовые состояния с наименьшей энергией) могут быть точно найдены и записаны в простой форме, что делает ее полезной отправной точкой для понимания более сложных спиновых моделей и фаз.

Определение

Модель Маджумдара – Гоша определяется следующим Гамильтониан:

${ displaystyle { hat {H}} = J sum _ {j = 1} ^ {N} { vec {S}} _ {j} cdot { vec {S}} _ {j + 1} + { frac {J} {2}} sum _ {j = 1} ^ {N} { vec {S}} _ {j} cdot { vec {S}} _ {j + 2}}$

где вектор S - квантовый вращение оператор с квантовым числомS = 1/2.

В литературе можно найти и другие соглашения для коэффициентов, но наиболее важным фактом является то, что отношение связей между первым и вторым соседом равно 2: 1. В результате этого отношения можно выразить гамильтониан ( сдвинутый на общую постоянную) эквивалентно в виде

${ displaystyle { hat {H}} = { frac {J} {4}} sum _ {j = 1} ^ {N} ({ vec {S}} _ {j-1} + { vec {S}} _ {j} + { vec {S}} _ {j + 1}) ^ {2}}$

Суммируемая величина - не что иное, как квадратичный оператор Казимира для представления спиновой алгебры на трех последовательных узлах. ${ displaystyle j-1, j, j + 1}$, который, в свою очередь, может быть разложен на прямую сумму представлений спина 1/2 и 3/2. Он имеет собственные значения ${ displaystyle { frac {1} {2}} ({ frac {1} {2}} + 1) = 3/4}$ для подпространства спина 1/2 и ${ displaystyle { frac {3} {2}} ({ frac {3} {2}} + 1) = 15/4}$ для подпространства со спином 3/2.

Основные состояния

Было показано, что модель Маджумдара – Гоша имеет два состояния с минимальной энергией, или основные состояния, а именно состояния, в которых соседние пары спинов образуют синглет Волновая функция каждого основного состояния является продуктом этих синглетных пар. Это объясняет, почему должно быть по крайней мере два основных состояния с одинаковой энергией, поскольку одно может быть получено из другого простым смещением или перемещением системы на один шаг решетки. Кроме того, было показано, что эти (и их линейные комбинации) являются единственными основными состояниями.

Обобщения

Модель Маджумдара – Гоша - одна из немногих реалистичных моделей квантового спина, которые можно точно решить. Более того, его основные состояния являются простыми примерами того, что известно как твердые тела с валентной связью (VBS). Таким образом, модель Маджумдара – Гоша связана с другой известной спиновой моделью, AKLT модель, основным состоянием которого является единственное одномерное твердое тело с валентной связью со спиновым соединением (S = 1).

Модель Маджумдара – Гоша также является полезным примером Теорема Либа – Шульца – Маттиса. который грубо заявляет, что бесконечная, одномерная, получетно-целочисленная спиновая система должна либо не иметь энергетического промежутка (или промежутка) между ее основным и возбужденным состояниями, либо иметь более одного основного состояния. Модель Маджумдара – Гоша имеет пробел и подпадает под второй случай.

Изотропия модели на самом деле не важна для того факта, что она имеет точно димеризованное основное состояние. Например, ${ displaystyle { hat {H}} = J sum _ {j = 1} ^ {N} ({X} _ {j} {X} _ {j + 1} + {Y} _ {j} { Y} _ {j + 1} + delta {Z} _ {j} {Z} _ {j + 1}) + { frac {J} {2}} sum _ {j = 1} ^ {N } ({X} _ {j} {X} _ {j + 2} + {Y} _ {j} {Y} _ {j + 2} + delta {Z} _ {j} {Z} _ { j + 2})}$ также имеет то же самое вышеупомянутое точно димеризованное основное состояние для всех реальных ${ displaystyle delta> -1/2}$.

Смотрите также

• Модель Гейзенберга (квантовая)
• Модель Гейзенберга (классическая)
• J1 J2 модель
• Бете анзац
• Модель Изинга
• t-J модель

Рекомендации

• К. К. Маджумдар и Д. Гош, О взаимодействии следующего ближайшего соседа в линейной цепочке. J. Math. Phys. 10, 1388 (1969); Дои:10.1063/1.1664978
• К. К. Маджумдар, Антиферромагнитная модель с известным основным состоянием. J. Phys. C: Физика твердого тела. 3 911–915 (1970)
• Асса Ауэрбах, Взаимодействующие электроны и квантовый магнетизм, Springer-Verlag New York (1992) стр. 83