WikiDer > Теорема Мальгранжа – Эренпрейса

Malgrange–Ehrenpreis theorem

В математике Теорема Мальгранжа – Эренпрейса утверждает, что каждый ненулевой линейный дифференциальный оператор с постоянные коэффициенты имеет Функция Грина. Впервые это было независимо доказано Леон Эренпрейс (1954, 1955) иБернар Мальгранж (1955–1956).

Это означает, что дифференциальное уравнение

куда п является многочленом от нескольких переменных и δ это Дельта-функция Дирака, имеет распределительный решение ты. Его можно использовать, чтобы показать, что

имеет решение для любого дистрибутива с компактной поддержкой ж. Решение в целом не уникальное.

Аналог для дифференциальных операторов, коэффициенты которых являются полиномами (а не константами), неверен: см. Пример Леви.

Доказательства

Первоначальные доказательства Мальгранжа и Эренпрейса были неконструктивными, поскольку они использовали Теорема Хана – Банаха. С тех пор было найдено несколько конструктивных доказательств.

Существует очень короткое доказательство с использованием преобразования Фурье и Полином Бернштейна – Сато, следующее. Принимая Преобразования Фурье Теорема Мальгранжа – Эренпрейса эквивалентна тому факту, что любой ненулевой многочлен п имеет обратное распределение. Заменив п на произведение с комплексно сопряженным, можно также считать, что п неотрицательно. Для неотрицательных многочленов п существование обратного распределения следует из существования полинома Бернштейна – Сато, из которого следует, что пs можно аналитически продолжить как мероморфную функцию распределения комплексной переменной s; постоянный член разложения Лорана пs в s = −1, тогда распределение, обратное к п.

Другие доказательства, часто дающие более точные оценки роста решения, приведены в (Хёрмандер 1983a, Теорема 7.3.10), (Рид и Саймон 1975, Теорема IX.23, с. 48) и (Розай 1991).(Хёрмандер 1983bв главе 10) подробно обсуждаются свойства регулярности фундаментальных решений.

Краткое конструктивное доказательство представлено в (Вагнер 2009, Предложение 1, с. 458):

фундаментальное решение п(∂), т.е. п(∂)E = δ, если пм это основная часть п, ηрп с пм(η) ≠ 0 действительные числа λ0, ..., λм попарно различны, и

Рекомендации

  • Эренпрейс, Леон (1954), "Решение некоторых задач деления. I. Деление полиномом вывода.", Амер. J. Math., 76 (4): 883–903, Дои:10.2307/2372662, JSTOR 2372662, МИСТЕР 0068123
  • Эренпрейс, Леон (1955), "Решение некоторых проблем деления. II. Деление по пунктуальному распределению", Амер. J. Math., 77 (2): 286–292, Дои:10.2307/2372532, JSTOR 2372532, МИСТЕР 0070048
  • Хёрмандер, Л. (1983a), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Grundl. Математика. Wissenschaft., 256, Спрингер, Дои:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 978-3-540-12104-6, МИСТЕР 0717035
  • Хёрмандер, Л. (1983b), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных II, Grundl. Математика. Wissenschaft., 257, Спрингер, Дои:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 978-3-540-12139-8, МИСТЕР 0705278
  • Мальгранж, Бернар (1955–1956), "Существование и аппроксимация решений для уравнений aux dérivées partielles et des équations de convolution", Annales de l'Institut Fourier, 6: 271–355, Дои:10.5802 / aif.65, МИСТЕР 0086990
  • Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики. II. Фурье-анализ, самосопряженность, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, стр. Xv + 361, ISBN 978-0-12-585002-5, МИСТЕР 0493420
  • Розэ, Жан-Пьер (1991), «Очень элементарное доказательство теоремы Мальгранжа-Эренпрейса», Амер. Математика. Ежемесячно, 98 (6): 518–523, Дои:10.2307/2324871, JSTOR 2324871, МИСТЕР 1109574
  • Розэ, Жан-Пьер (2001) [1994], "Теорема Мальгранжа – Эренпрейса", Энциклопедия математики, EMS Press
  • Вагнер, Питер (2009), "Новое конструктивное доказательство теоремы Мальгранжа-Эренпрейса", Амер. Математика. Ежемесячно, 116 (5): 457–462, CiteSeerX 10.1.1.488.6651, Дои:10.4169 / 193009709X470362, МИСТЕР 2510844