WikiDer > Матричный полином

В математике матричный полином является многочленом с квадратные матрицы как переменные. Для обычного многочлена со скалярными значениями

${ displaystyle P (x) = sum _ {i = 0} ^ {n} {a_ {i} x ^ {i}} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ { 2} + cdots + a_ {n} x ^ {n},}$

этот многочлен вычислен в матрице А является

${ displaystyle P (A) = sum _ {i = 0} ^ {n} {a_ {i} A ^ {i}} = a_ {0} I + a_ {1} A + a_ {2} A ^ {2} + cdots + a_ {n} A ^ {n},}$

куда я это единичная матрица.^[1]

А матричное полиномиальное уравнение есть равенство между двумя матричными полиномами, которое выполняется для конкретных рассматриваемых матриц. А матричное полиномиальное тождество - матричное полиномиальное уравнение, справедливое для всех матриц А в указанном матричное кольцо M_п(р).

Характеристический и минимальный многочлен

В характеристический многочлен матрицы А - многочлен со скалярными значениями, определяемый формулой ${ Displaystyle p_ {A} (t) = det left (tI-A right)}$. В Теорема Кэли – Гамильтона утверждает, что если этот многочлен рассматривается как матричный многочлен и вычисляется в матрице А Сама результат - нулевая матрица: ${ displaystyle p_ {A} (A) = 0}$. Таким образом, характеристический многочлен - это многочлен, который аннулирует А.

Есть уникальный монический многочлен минимальной степени, которая аннулирует А; этот многочлен является минимальный многочлен. Любой многочлен, аннулирующий А (например, характеристический многочлен) является кратным минимальному многочлену.^[2]

Отсюда следует, что для двух многочленов п и Q, у нас есть ${ Displaystyle P (A) = Q (A)}$ если и только если

${ displaystyle P ^ {(j)} ( lambda _ {i}) = Q ^ {(j)} ( lambda _ {i}) qquad { text {for}} j = 0, ldots, n_ {i} -1 { text {and}} i = 1, ldots, s,}$

куда ${ Displaystyle P ^ {(j)}}$ обозначает j-я производная от п и ${ displaystyle lambda _ {1}, dots, lambda _ {s}}$ являются собственные значения из А с соответствующими индексами ${ displaystyle n_ {1}, dots, n_ {s}}$ (индекс собственного значения - это размер его наибольшего Иорданский блок).^[3]

Матричный геометрический ряд

Матричные полиномы можно использовать для суммирования геометрического ряда матриц, как если бы это было обычное геометрическая серия,

${ Displaystyle S = I + A + A ^ {2} + cdots + A ^ {n}}$

${ Displaystyle AS = A + A ^ {2} + A ^ {3} + cdots + A ^ {n + 1}}$

${ Displaystyle (I-A) S = S-AS = I-A ^ {n + 1}}$

${ Displaystyle S = (I-A) ^ {- 1} (I-A ^ {n + 1})}$

Если я − А невырожденна, можно вычислить выражение для суммыS.

Смотрите также

• Теорема Латимера – МакДаффи
• Матрица экспоненциальная
• Матричная функция

Примечания

Рекомендации

• Гохберг, Израиль; Ланкастер, Питер; Родман, Лейба (2009) [1982]. Матричные полиномы. Классика прикладной математики. 58. Ланкастер, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-898716-81-0. Zbl 1170.15300.
• Хайэм, Николас Дж. (2000). Функции матриц: теория и вычисления. СИАМ. ISBN 089-871-777-9.CS1 maint: ref = harv (связь).
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1990). Матричный анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-38632-6.CS1 maint: ref = harv (связь).