WikiDer > Теорема о среднем значении (разделенные разности) - Википедия

В математический анализ, то Теорема о среднем значении для разделенных разностей обобщает теорема о среднем значении к высшим производным.^[1]

Формулировка теоремы

Для любого п + 1 попарно различные точки Икс₀, ..., Икс_п в области пкратно дифференцируемая функция ж существует внутренняя точка

${ displaystyle xi in ( min {x_ {0}, dots, x_ {n} }, max {x_ {0}, dots, x_ {n} }) ,}$

где п-я производная от ж равно п ! раз пth разделенная разница в этих точках:

${ displaystyle f [x_ {0}, dots, x_ {n}] = { frac {f ^ {(n)} ( xi)} {n!}}.}$

За п = 1, то есть две функциональные точки, получается простая теорема о среднем значении.

Доказательство

Позволять ${ displaystyle P}$ быть Полином интерполяции Лагранжа за ж в Икс₀, ..., Икс_пТогда из Форма Ньютона из ${ displaystyle P}$ что самый высокий срок ${ displaystyle P}$ является ${ displaystyle f [x_ {0}, dots, x_ {n}] (x-x_ {n-1}) dots (x-x_ {1}) (x-x_ {0})}$.

Позволять ${ displaystyle g}$ - остаток от интерполяции, определяемый ${ displaystyle g = f-P}$. потом ${ displaystyle g}$ имеет ${ displaystyle n + 1}$ нули: Икс₀, ..., Икс_п.При применении Теорема Ролля первым ${ displaystyle g}$, затем к ${ displaystyle g '}$и так далее, пока ${ Displaystyle г ^ {(п-1)}}$, мы находим, что ${ Displaystyle г ^ {(п)}}$ имеет ноль ${ Displaystyle xi}$. Это означает, что

${ displaystyle 0 = g ^ {(n)} ( xi) = f ^ {(n)} ( xi) -f [x_ {0}, dots, x_ {n}] n!}$,

${ displaystyle f [x_ {0}, dots, x_ {n}] = { frac {f ^ {(n)} ( xi)} {n!}}.}$

Приложения

Теорема может быть использована для обобщения Столярского к более чем двум переменным.

Рекомендации